图像的几何变换

Posted 2023-03-01 Matrix_11

图像的几何变换

在图像处理中，我们经常会进行两种类型的操作，一种是像素值的变换，最常见的比如直方图均衡，对比度，颜色的变换，这一类都属于像素值的变换；还有一种是几何变换，比如常见的旋转，平移，仿射变换，透视变换等。

• 像素值变换：这种变换，主要改变像素值的大小，但不会改变像素的坐标
• 几何变换：这种变换，会改变像素原有的坐标关系，但一般不会改变像素值

接下来，我们就来看看图像常见的一些几何变换

当我们讨论几何变换的时候，我们首先需要建立一个坐标系，最常见的就是笛卡尔坐标系，以二维空间为例，笛卡尔坐标系，以相互垂直的两个坐标轴进行表示，我们的图像一般也是用笛卡尔坐标系来表示，我们看到的图像都是水平方向和垂直方向相互垂直的一个矩形，所以图像也是建立在笛卡尔坐标系下的，而且图像的原点也是两个坐标轴相交的点，只不过在图像上，两个坐标轴的交点是在图像的四个角上，我们一般就以图像的左上角作为原点。所以图像一般可以表示成：

$$f(x,y),0\le x\le N,0\le y\le M$$

上面的式子表示了一个有 M 行 N 列的图像。

那么，几何变换，也就是坐标系的变换，简单来说，就是从一个坐标系，变换到另一个坐标系下。所以几何变换，一般会涉及到两个坐标系，一个称为原坐标系，一个称为目标坐标系。可以表示成如下所示：

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=g(x)\\ y^{\prime }=h(y)\end{array}$$

上面的 $x^{\prime },y^{\prime }$ 表示目标坐标系，而 $x,y$ 表示原有的坐标系，$g,h$ 分别表示变换关系，一般是一个线性函数，如果写成矩阵，就如下所示：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\mathbf{A}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

借助矩阵的表达形式，我们来看看几种常见的几何变换，图像最常见的几种几何变换有缩放，旋转，平移等

图像缩放

图像的缩放就是我们常说的 scale 变换：

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=ax\\ y^{\prime }=by\end{array}$$

如果写成矩阵形式，可以表示成：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

图像旋转

图像的旋转也是常见的一种几何变换，图像的旋转可以表示成：

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x\cos (\theta )-y\sin (\theta )\\ y^{\prime }=x\sin (\theta )+y\cos (\theta )\end{array}$$

显然，这个也可以表示成矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

图像平移

图像的平移，也是常见的一种变换，

$$\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+t_x\\ y^{\prime }=y+t_y\end{array}$$

想必大家注意到，上面这个表达式，无法用一个 $ 2 \\times 2$ 的矩阵来表示，为了能将运算用矩阵运算统一起来，我们引入齐次坐标系，在齐次坐标系下，所有的几何变换都可以用矩阵进行表示。

齐次坐标

齐次坐标就是在原有的坐标的基础上再增加一个维度，如果是二维的坐标，我们就用三维的齐次坐标来表示：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]$$

引入齐次坐标之后，图像的平移也可以纳入矩阵的运算当中：

• 平移

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

而前面介绍的缩放和旋转也可以用齐次坐标来表示：

• 缩放：

[ x ′ y ′ 1 ] = [ a 0 0 0 b 0