Anti-Nim博弈

Posted 2021-09-04 Harris-H

Anti-Nim博弈

题意

给定$n$​堆石子，两个人轮流选取一堆石子的至少一个，谁取到最后谁输。

思路

1.若都为一堆石子，则直接考虑$n$的奇偶性，$n$为偶数先手赢，否则先手输。

2.若只有一堆大于$1$​的石子，其他都是为1的堆，显然先手赢，先手可以控制剩下1堆石子的奇偶性，如果当前是奇数堆石子，则先手取完这一堆大于1的石子，后手就是必败局面，否则先手取到只剩一个，后手还是面对必败局面。

3.有多堆大于1的石子，显然谁取到最后一堆大于1的石子谁就赢了，这不是就是Nim博弈吗？所以直接计算所有石子堆异或和，若异或和不为0，则先手可以取到最后一堆大于1的石子掌握主动权，否则后手可以掌握主动权。

Code

P4279 [SHOI2008]小约翰的游戏

// Problem: P4279 [SHOI2008]小约翰的游戏
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P4279
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Date: 2021-08-10 20:36:57
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0) 
void Print(int *a,int n){
	for(int i=1;i<n;i++)
		printf("%d ",a[i]);
	printf("%d\\n",a[n]); 
}
int main(){
	int t;scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n,s=0,c=0;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1,x;i<=n;i++){
			scanf("%d",&x);s^=x,c+=x;
		}
		if(c==n) puts(n&1?"Brother":"John");
		else puts(s?"John":"Brother");
	}
	return 0;
}

总结

• 若都为每堆石子个数都为1，则$n$为偶数先手赢。
• 否则若异或和不为0，先手赢。