Nim游戏 模板+拓展 博弈论+sg函数
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Nim游戏 模板+拓展 博弈论+sg函数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
Nim游戏
思路：
先上结论： 对于 a 1 , a 2 , a 3 . . . a n − 1 , a n a_1,a_2,a_3...a_{n-1},a_{n} a1,a2,a3...an−1,an每堆石头
- 如果 a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a n = 0 a_1\\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus... \\oplus a_n = 0 a1⊕a2⊕a3⊕...⊕an=0一定先手必败
- 如果 a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a n ≠ 0 a_1 \\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus... \\oplus a_n \\neq 0 a1⊕a2⊕a3⊕...⊕an=0一定先手必胜
注意： ⊕ \\oplus ⊕为异或符号
开始证明：
- 当 a 1 , a 2 , a 3 . . . a n a_1 ,a_2 ,a_3...a_n a1,a2,a3...an都为0时，为失败状态，此时所有数相互异或结果为0
- 当
a
1
⊕
a
2
⊕
a
3
⊕
.
.
.
⊕
a
n
≠
0
a_1 \\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus... \\oplus a_n \\neq 0
a1⊕a2⊕a3⊕...⊕an=0时
我们假设 a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . ⊕ a n = x a_1\\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus... \\oplus a_n = x a1⊕a2⊕a3⊕...⊕an=x
那么x最高位是1的二进制位上，必然存在一个数 a i a_i ai的这一位也是1，为什么呢？因为我们可以发现，在某个二进制位上，当存在奇数个1时（最后剩下一个1异或不掉，1异或0还是1嘛），结果就为1，存在偶数个1时（两个1互相异或，最后都为0），结果就为0
然后对于这个 a i a_i ai，得出结论 a i ⊕ x < a i a_i \\oplus x < a_i ai⊕x<ai, 因为 x x x的最高位为1， a i a_i ai对应位置也为1，异或一下，这位就变为0，那么数就变小了，不管后面的二进制位怎么异或，高位为1的二进制数始终大于低位全为1的二进制数（比如说1000大于0111，即16大于15）
然后我们就可以拿走一定数目的石头让这个数 a i a_i ai变成 a i ⊕ x a_i \\oplus x ai⊕x，
另一方 a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . a i ⊕ x . . . ⊕ a n = a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . a i . . . ⊕ a n ⊕ x = x ⊕ x = 0 a_1 \\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus...a_i \\oplus x... \\oplus a_n = a_1 \\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus...a_i ... \\oplus a_n \\oplus x = x\\oplus x =0 a1⊕a2⊕a3⊕...ai⊕x...⊕an=a1⊕a2⊕a3⊕...ai...⊕an⊕x=x⊕x=0,
那下一步就变为所有数的异或都不会为0，然后另一方必然取出些石头，使最后的异或不为0，那么先手就可以进行相同的操作了，最终先手始终是所有数异或不为0，后手始终异或为0，最终必然取完石子，异或为0的一定是后手。
故先手必胜 -
a
1
⊕
a
2
⊕
a
3
⊕
.
.
.
⊕
a
n
=
0
a_1\\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus... \\oplus a_n = 0
a1⊕a2⊕a3⊕...⊕an=0时，怎样拿最后的异或都不会是0
反证法：
假设是0
a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . a i . . ⊕ a n = 0 a_1\\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus...a_i.. \\oplus a_n = 0 a1⊕a2⊕a3⊕...ai..⊕an=0
a 1 ⊕ a 2 ⊕ a 3 ⊕ . . . a i ′ . . ⊕ a n = 0 a_1\\oplus a_2 \\oplus a_3 \\oplus...a_i^{'}.. \\oplus a_n = 0 a1⊕a2⊕a3⊕...ai′..⊕博弈论 SG函数BZOJ1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John (博弈论)