AcWing数学知识

Posted 2021-09-04 爱若信若盼若

AcWing数学知识

质数

试除法$O(\sqrt{n})$

public static boolean isPrime(int x) {
    if (x < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

分解质因数$O(\sqrt{n})$

public static void divide(int x) {
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
        if (x % i == 0) {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) {
                x /= i;
                s ++;
            }
            System.out.println(i + " " + s);
        }
    }
    if (x > 1) System.out.println(x + " 1");
    System.out.println();
}

筛质数

// 埃氏筛法 $O(nloglogn)$
public static int getPrimes(int x) {
    for (int i = 2; i <= x; i ++) {
        if (!st[i]) {
            prime[++ cnt] = i;
            for (int j = i + i; j <= x; j += i) {
                st[j] = true;
            }
        }
    }
    return cnt;
}

// 线性筛法 $O(n)$， n = 1e7时比埃氏筛法快一倍
// 算法核心：x仅会被其最小质因子筛去
import java.util.*;

class Main {
    static final int N = 1000010;
    static int[] primes = new int[N];
    static boolean[] st = new boolean[N];
    static int cnt = 0;
    
    public static int getPrimes(int x) {
        for (int i = 2; i <= x; i ++) { // 循环遍历所有数
            if (!st[i]) {
                primes[cnt ++] = i;
            }
            for (int j = 0; primes[j] <= x / i; j ++) {
                // 对于任意一个合数x，假设pj为最小质因子，当i<x/pj时，pj*i一定会被筛掉
                st[primes[j] * i] = true;
                if (i % primes[j] == 0) break;
            	/*
            	1. i%pj == 0，pj一定为i的最小质因子，pj也一定为i*pj的最小质因子
            	2. i%pj != 0, pj一定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i的最小质因子
            	*/
            }
        }
        return cnt;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int res = getPrimes(n);
        System.out.println(res);
    }
}

约数

试除法求约数

class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        List<Integer> temp;
        while (n -- > 0) {
            int x = sc.nextInt();
            temp = getDivisors(x);
            for(int i : temp) {
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
        }
    }
    
    public static List<Integer> getDivisors(int n) {
        ArrayList<Integer> res = new ArrayList<Integer>();
        
        for (int i = 1; i <= n / i; i ++) {
            if (n % i == 0) {
                res.add(i);
                if (i != n / i) {
                    res.add(n / i);
                }
            }
        }
        
        Collections.sort(res);
        return res;
    }
}

约数个数

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \\begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ N = &p_1^{\\al…

import java.util.*;

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);    
        int n = sc.nextInt();
        HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<Integer, Integer>();
        long ans = 1;
        long mod = 1000000007;
        while (n -- > 0) {
            int x = sc.nextInt();
            for (int i = 2; i <= x / i; i ++) {
                while(x % i == 0) {
                    x /= i;
                    map.put(i, map.getOrDefault(i, 0) + 1);
                }
                
            }
            if (x > 1) {
                map.put(x, map.getOrDefault(x, 0) + 1);
            }
        }
        
        for (int i : map.values()) {
            ans = ans * (i + 1) % mod;    
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

约数之和

$$\begin{gathered} N=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_k^{c_k} \\ 约数个数：(c_1+1)\times (c_2+1)\times ...\times (c_k+1) \\ 约数之和：({p_1}^0+{p_1}^1+...{p_1}^{c_1})\times ...\times ({p_k}^0+{p_k}^1+...{p_k}^{c_k}) \end{gathered}$$

while (pow -- > 0) {
    temp = (temp * key + 1) % mod
}

$t=t\ast p+1$
$t=1$
$t=p+1$
$t=p^2+p+1$
$t=p^3+p^2+p+1$
. . . ...

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AcWing 1875. 贝茜的报复（数学+暴力枚举）

第五章 数学知识

数学知识3.2-卡特兰数