(计算机组成原理)第二章数据的表示和运算-第三节3：浮点数加减运算

Posted 2021-09-04 快乐江湖

文章目录

• 一：以十进制下的科学计数法的加减运算为例说明浮点数加减运算
• 二：浮点数的加减运算（不舍入）
• 三：浮点数的加减运算（舍入）
• 四：浮点数强制类型转换

一：以十进制下的科学计数法的加减运算为例说明浮点数加减运算

比如有浮点数$9.85211\times 10^{12}+9.96007\times 10^{10}$，其运算基本步骤如下

1：对阶
所谓对阶就是对齐两个浮点数的阶数，由于计算机内部尾数是定点小数，所以对阶是一律向大阶看其
也即$9.85211\times 10^{12}+0.0996007\times 10^{10}$

2:尾数相减
也即$9.9517107\times 10^{12}$

3：规格化
由于我们已经对阶了，所以这里就不用规格化了。

• 如果尾加减出现了$0.0099517\times 10^{12}$，就需要左规；如果尾数加减出现了$99.517107\times 10^{12}$时，需要右规

4：舍入
假如规定了机器只能保持6位有效尾数，则$9.9517107\times 10^{12}$中多余尾数部分应该砍掉，也即$9.95171\times 10^{12}$

• 也可以采用四舍五入，也即$9.95171\times 10^{12}$
• 也可以采用“若砍掉部分非0，则入1”的原则，即$9.95172\times 10^{12}$

5：判溢出
假如规定了阶码不能超过两位，若运算后的阶码超出范围则溢出。比如$9.85211\times 10^{99}+9.96007\times 19^{99}=19.81218\times 10^{99}$，规格化后并采用四
舍五入原则保留6位尾数得：$1.98122\times 10^{100}$，因此这里产生了溢出

• 需要注意的是尾数溢出并不是真正的溢出，因为有可能通过规格化来拯救。

二：浮点数的加减运算（不舍入）

$case：$已知十进制数$X=-\frac{5}{256}$、$Y=+\frac{59}{1024}$，按机器补码浮点运算规则计算$X-Y$，结果用二进制表示，浮点数格式如下

• 阶符2位、阶码2位、数符2位、尾数9位

预备步骤1：格式转换

• 对于$X=-\frac{5}{256}$：其中分子5=$(101{)}_2$，而$\frac{1}{256}=2^{-8}$，因此$X=-101\times 2^{-8}=-0.101\times 2^{-5}=-0.101\times 2^{-101}$
• 对于$Y=+\frac{59}{1024}$：其中分子$59=(111011{)}_2$，而$\frac{1}{1024}=2^{-10}$，因此$Y=+111011\times 2^{-10}=+0.111011\times 2^{-4}=+0.111011\times 2^{-100}$

预备步骤2：确定浮点数

题目规定：阶符2位、阶码2位、数符2位、尾数9位

①：对于$X$

• 阶码：其阶码部分为$-5$，对应原码为$1101$，对应补码为$1011$，因为阶符2位、阶码3位，因此必须增添1位，采用双符号位，也即补码为$11011$;
• 尾数：其尾数部分为$-0.101$，对应原码为$1.101$，对应补码为$1.011$,因为数符2位、尾数9位，因此必须增添1位，采用双符号位，也即补码为$11.011$,再进行符号扩展，也即补码为$11.011000000$

因此$X$的浮点数形式为：11011，11.011000000

②：对于$Y$

• 阶码：其阶码部分为$-4$，对应原码为1100，对应补码为$1100$，因为阶符2位、阶码3位，因此必须增添1位，采用双符号位，也即补码为$11100$
• 尾数：其尾数部分为$+0.111011$,对应原码为$0.111011$，对应补码为$0.111011$，因为数符2位、尾数9位，因此必须增添1位，采用双符号位，也即补码为$00.111011$，再进行符号扩展，也即补码为$00.111011000$

因此$Y$的浮点数形式为：11100，00.111011000

第一步：对阶：使两个数的阶码相等，小阶向大阶看其

• 求阶差（减法采用加法实现）：$[\Delta E{]}_{补}=11011+00100=$