指数型生成函数：贝尔数无向连通图计数弱连通DAG计数

Posted 2021-09-04 hans774882968

贝尔数：n个元素的集合的划分的个数

注意到S2的定义就是n个元素放入k个无区别的盒子的个数，“集合”是一种无区别的盒子，所以贝尔数等于一行S2的和。

定义dp[n]为所求，则考虑1号元素所在集合的元素个数：
$$dp[n]=\sum _{i=1}^{n}dp[n-i]\ast C_{n-1}^{i-1}=\sum _{i=0}^{n-1}dp[n-1-i]\ast C_{n-1}^i,dp[0]=1$$
把另一个数组看成全1，则这个式子和引出指数型生成函数（下称EGF）的关键式子（下称①式）
$$h_n=\sum _{i=0}^n{C}_n^i\ast f_i\ast g_{n-i}$$
很像，即W(x)和e^x有关。w[n]=h[n-1]，h对应EGFW(x)*e^x。考虑一条性质：
$$\int F(x)dx=C+\sum _{i>=1}\frac{f_{i-1}}{i!}\ast x^i$$
那么为了让h[n-1]移动到x^n的位置，我们需要对h对应的函数积分1次。又dp[0]=1，故
$$W(x)=1+\int W(x)\ast e^{x}dx$$
求个导得到
$$lnW(x)=e^x+C$$
上面省略了纯微积分问题的推倒过程，因为过于显然过程只需要用到一个结论：
$$[lnF(x){]}^{\prime }=\frac{F^{\prime }(x)}{F(x)}$$
由W(0)=dp[0]=1得C=-1。

无向连通图计数

注：洛谷上题目：城市规划

设g[n]为所求。发现直接求没思路，所以考虑求“至少2个连通块”的，再做差。如何构造至少2个连通块？我们发现1号点，必然处于某个连通块里，所以不妨枚举1号点所在的连通块的大小i=1~n-1
$$g[n]=2^{C(n,2)}-\sum _{i=1}^{n-1}{C}_{n-1}^{i-1}\ast g[i]\ast 2^{C(n-i,2)}$$
这玩意和①式很像，但求和项只有n-1项，不好做。但我们发现，i=n的情况恰好可得g[n]。于是
$$2^{C(n,2)}=\sum _{i=1}^n{C}_{n-1}^{i-1}\ast g[i]\ast 2^{C(n-i,2)}=\sum _{i=0}^{n-1}{C}_{n-1}^i\ast g[i+1]\ast 2^{C(n-1-i,2)}$$
记f[n]=2^C(n,2)的EGF为F(x)，g0[i]=g[i+1]的EGF为G0(x)，则
$$F(x)=C0+\int F(x)\ast G0(x)dx，G0(x)=G^{\prime }(x)$$
求导得
$$[lnF(x){]}^{\prime }=G^{\prime }(x)$$
值得注意的是，幸好不定积分加C的常数项只影响g[0]，所以直接对F(x)套多项式求ln的模板即可。

弱连通DAG计数

传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P6295

弱连通DAG：有向边换成无向边以后是连通图的那些DAG。

先考虑怎么求DAG个数。设f[n]为所求。考虑一个巧妙的DAG构造过程：设现在有一个n-i个点的DAG，我们从i个点向n-i个点任意连边。但我们发现，我们这么做并不能保证那i个点就是所有入度为0的点。为了指定入度为0的点，考虑定义集合A = {p1,p2,...,p[m]}为，指定A集合的点必须入度为0，其他点无限制的DAG个数。则f[n]等于所有可能的集合A的并集的大小（注：集合A非空，因为入度为0的点必须至少有1个）。套容斥原理公式：
$$f[n]=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}\ast C_n^i\ast 2^{i\ast (n-i)}\ast f[n-i]，f[0]=1$$
i和n-i不应该绑定，考虑解绑：
i ∗ ( n − i ) = C ( n , 2 ) −

以上是关于指数型生成函数：贝尔数无向连通图计数弱连通DAG计数的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

图的计数

题解 边双连通图计数

[P4841]无向连通图计数与生成函数

LuoguP4841 城市规划

《算法竞赛进阶指南》0x5C计数类DP AcWing307n个点的连通无向图数量

有标号的DAG/强连通图计数