2021牛客暑期多校训练营4 G.Product(容斥,模型转化)

Posted 2021-09-04 issue是fw

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一个序列$a$的权值定义为$\frac{D!}{{\prod }_{i=1}^n(a_i+k)!}$

合法的序列$a$满足$\sum _{i=1}^n{a}_i=D$且$a_i>=0$

求所有合法序列的权值和模$998244353$

其中$D<=10^8,n<=50,k<=50$

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考虑先求

$ans1=\sum _{a_i>=0\&\&(\sum _{i=1}^n{a}_i)=D}\frac{D!}{\prod _{i=1}^n{a}_{i!}}$

考虑$D!\ast \prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i!}$的意义

相当于一个可重集排列问题,$D$个小球排成一排,第$i$种小球有$a_i$个,求排列的方案数

考虑现在$a_i$的值不是固定的,相当于求一个给$D$个小球分配颜色并排列的方案,这显然有更简单的算法

考虑拿出的第$i$个小球排列在第$i$个位置,那么它的颜色可以有$n$种,总方案也就是$n^D$

于是我们知道$ans1=n^D$

不过题目要求的是

$ans2=\sum _{a_i>=0\&\&(\sum _{i=1}^n{a}_i)=D}\frac{D!}{\prod _{i=1}^n(a_i+k)!}$

这样就用不了上面的结论了,考虑变形一下来使用上面的结论

$ans2=\sum _{a_i>=k\&\&(\sum _{i=1}^n{a}_i)=D+nk}\frac{D!}{\prod _{i=1}^n{a}_i!}=\frac{D!}{(D+nk)!}\ast n^{D+nk}$

这样肯定算多了,因为在这$n$种颜色中,很多颜色没有分配够$k$,有些颜色分配够了

这个需要容斥掉不合法的方案数,不妨定义$f[i][j]$表示$i$个位置不合法,这些数字的和是$j$共造成的贡献

$f[i][j]=f[i-1][j-q]\ast \frac{1}{q!}$

显然有$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$种取法,不满足的位置贡献是$f[i][j]$

满足的位置按照上面的计算方式有$\frac{D!}{(D+nk-j)!}(n-i{)}^{D+nk-j}$的贡献,乘起来就好了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6+10;
const int mod = 998244353;
int n,k,D,a[ma
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