2021牛客暑期多校训练营5 G.Greater Integer, Better LCM(搜索,子集合并)

Posted 2021-09-04 issue是fw

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$lcm(a+x,b+y)$的意义就是对于每个质因子幂取$a+x$和$b+y$中更大的那个

而且$a+x$和$b+y$在每个质因子上,至少一个是最高次幂,这才能满足$lcm(a+x,b+y)=c$

考虑枚举$a+x$和$b+y$在每个质因子取到的幂次,复杂度是不超过$O(2^{\sum q_i})$

这些状态我们可以爆搜出来,同时用一个二进制数表示这些状态在哪些质因子取到最高次幂

于是定义$f[i]$表示当质因子限制状态为$i$时的大于$a$的最小值

定义$g[i]$表示质因子限制状态为$i$时大于$b$的最小值

于是可以暴力枚举$f[i]$和$g[j]$若满足$i|j=2^{\sum q_i}-1$可以更新答案

这样的复杂度是$2^{\sum q_i}\ast 2^{\sum q_i}$

如果枚举$f[i]$后继续枚举$i\oplus (2^{\sum q_i}-1)$的子集可以做到$3^n$的复杂度

还是不太能过的样子,考虑让$f[i]$表示所有包含子集$i$的状态中的最小值,$g$同理

利用子集$dp$的思想,每次只更新子集的极大真子集,更小的子集会被极大真子集更新

总体复杂度$O(n\ast 2^n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i128 = __int128;
const int maxn = (1<<20);
const i128 inf = 1e36;
i128 in() 
{
	static char buf[110]; i128 x = 0; scanf("%s", buf);
	for (char *p = buf; *p; ++p) x = x * 10 + (*p - '0');
	return x;
}
void out( i128 x ) 
{
	if (x >= 10) out(x / 10);
	putchar('0' + x % 10);
}
inline i128 min(i128 x,i128 y){ return x<y?x:y; }
int n,mx,p[maxn],q[maxn];
i128 a,b,f[maxn],g[maxn];
void dfs(int id,i128 x,int val)
{
	if( x>=a )	f[val] = min( f[val],x );
	if( x>=b )	g[val] = min( g[val],x );
	if( id>n )	return;
	for(int i=0;i<=q[id];i++)
	{
		dfs( id+1,x,val | ( (i==q[id])*(1<<(id-1)) )  );
		x *= p[id];
	}
}
void zjdp()
{
	for(int i=mx;i>=0;i--)
	for(int j=0;j<n;j++)
	{
		if( ((i>>j)&1)==0 )	continue;
		f[i^(1<<j)] = min( f[i^(1<<j)],f[i] );
		g[i^(1<<j)] = min( g[i^(1<<j)],g[i] );
	}
}
int main()
{
	cin >> n; mx = (1<<n)-1;
	for(int i=0;i<=mx;i++)	f[i] = g[i] = inf;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> p[i] >> q[i];
	a = in(); b = in();
	dfs( 1,1,0 ); zjdp();
	i128 ans = inf;
	for(int i=mx;i>=0;i--)
		ans = min( ans,f[i]+g[mx^i]-a-b );
	out( ans );
}