P3986 斐波那契数列(exgcd&fibonacci)

Posted 2021-09-04 Harris-H

P3986 斐波那契数列(exgcd&fibonacci)

$a{f}_{i-1}+b{f}_i=k$

$k\le 10^{9}a,b>0$

$f_{i-1}+f_i=f_{i+1}\le k$​

则$i$不会很大。

所以可以考虑枚举$i$。

令$f_{i-1}=x,f_i=y$

则$ax+by=k$

因为$gcd(x,y)=1$，所以肯定有整数解。

使用$exgcd$ 解出一组特解。

然后对$a$取模求出最小正整数$a$，答案就是$\lceil \frac{b}{x}\rceil$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;return;
	}
	exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
ll f[70]={0,1},c,k;
const int mod=1e9+7;
int main(){
	scanf("%lld",&k);
	for(int i=2;;i++){
		f[i]=f[i-1]+f[i-2];
		if(f[i]>k){
			c=i;break;
		}
	}
	ll s=0;
	for(int i=2;i<=c;i++){
		ll a=f[i-1],b=f[i],x,y;
		exgcd(a,b,x,y);
		x*=k,y*=k;
		x=(x%b+b)%b;if(!x) x=b;
		y=(k-a*x)/b;
		if(y<=0) continue;
		s+=(y-1)/a+1;
		s%=mod;
	}
	printf("%lld\\n",s);
}