[图灵杯]欧拉回路

Posted 2021-09-03 Tan_tan_tann

欧拉回路

题解

首先有一个很好想到的$80pts$做法。
对于一个图，如果它可以构成欧拉回路，需要满足下列两个条件：

• 该图是一个连通图(孤点除外)。
• 所有点的度都是偶数。

对于条件$1$，我们很好维护。
由于后面较大的点都会向前面连边，所以孤点只会出现在该区间的开头与结尾。
出现在开头的孤点肯定比后面的点都大，不需要考虑其连通性。
所以我们只需要保证后面加入的点可以使前面的几个联通块联通即可，也就是后面加入的点需要比前面大于$1$的联通块中的最小值都大。
而后面的孤点比前面联通块的最小值小，所以我们只需要在所有点都联通的时候记录下当前所有点的最小值，如果新加入的点是孤点，或者比这个值大就合法。

然后就是维护所有点的度，如果用权值线段树维护的话就是$O\left(n^{2}logn\right)$，可以拿到$80pts$。
考虑如何$O\left(1\right)$维护所有点的度。
我们可以把对一个点连的边分成从前面连的与从后面连的，前面的都比该点小，后面的都比该点大。
如果我们要让点的度数为偶数，那么这两类边数量的奇偶性相同。
我们可以预处理出来对于一个点它在某个区间内的边的数量，进一步得到一个区间内向前连边为奇数的点的集合与像后连边为奇数的点的集合。
只有当这两个集合相同时，该区间内所有点的度数才为偶数。
对于这两个区间，我们可以用哈希对其进行维护。
这些都可以预处理出来，最后比较两个哈希值是否相同即可。

时间复杂度$O\left(n^2\right)$。

源码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<time.h>
using namespace std;
#define MAXN 8005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double lb;
const int mo=998244353;
const int jzm=2333;
const int lim=10000000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-1;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1LL)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1LL;}return t;}
int n,a[MAXN],root,st[MAXN][20],lg[MAXN],ans,b[MAXN],tot;
short summ[MAXN][MAXN];int hs[MAXN][MAXN],pow2[MAXN];
int query(int l,int r){int len=lg[r-l+1];return min(st[l][len],st[r-(1<<len)+1][len]);}
signed main(){
	read(n);srand(114514);pow2[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)pow2[i]=add(pow2[i-1],pow2[i-1],mo);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]),b[++tot]=a[i];
	sort(b+1,b+tot+1);tot=unique(b+1,b+tot+1)-b-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+tot+1,a[i])-b;
	for(int i=2;i<=n;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)st[i][0]=a[i];
	for(int j=1;j<=lg[n];j++)
		for(int i=1;i<=n-(1<<j)+1;i++)
			st[i][j]=min(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i-1;j>0;j--)summ[i][j]=summ[i][j+1]+(a[i]>a[j]);
		for(int j=i+1;j<=n;j++)summ[i][j]=summ[i][j-1]+(a[i]<a[j]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			hs[i][j]=add(hs[i][j-1],(summ[j][i]&1)*pow2[j-1],mo);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int now=0;
		for(int j=i;j>0;j--){
			now=add(now,(summ[j][i]&1)*pow2[j-1],mo);
			hs[j][i]=add(hs[j][i],mo-now,mo);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int las=-1;bool flag=0;
		for(int j=i;j<=n;j++)
			if(a[j]>las||(!summ[j][i]&&flag)){
				ans+=(hs[i][j])==0;
				if(summ[j][i])las=query(i,j),flag=1;
			}
			else flag=0;
	}
	printf("%d\\n",ans);
	return 0;
}

谢谢！！！