任务安排1 斜率优化DP

Posted 2021-09-03 行码棋

题目：

有 N 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。

机器会把这 N 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。

从时刻 0 开始，任务被分批加工，执行第 i 个任务所需的时间是 Ti。

另外，在每批任务开始前，机器需要 S 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 S 加上每个任务所需时间之和。

一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕。

也就是说，同一批任务将在同一时刻完成。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 Ci。

请为机器规划一个分组方案，使得总费用最小。
$1\le N\le 5000$
$0\le S\le 50$
$1\le Ti,Ci\le 100$

思路：

状态表示：

$f[i]$表示从前i个里面选，所有选择方案里面的最小费用

转移方程：

$f[i]=min(f[i],f[j]+sumt[i]\ast (sumc[i]-sumc[j])+s\ast (sumc[n]-sumc[j]))$

对任务分批相当于是对任务进行插空，插一个空就会将任务分成左右两批

j是最后一个对任务插空的位置，区间$[j+1,i]$则一批任务，$j$是可变的，$0\le j\le i$
每个插空可以把费用插空间隔的费用提前算出来，即为$s\ast (sumc[n]-sumc[j]))$，剩下的整体的费用不变

$sumt[i]\ast (sumc[i]-sumc[j])$是区间$[i,j]$时间的总费用

最终的时间复杂度为$O(n^2)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5005;
int n,s;
int f[N];
int sumt[N],sumc[N];

int main()
{
    cin>>n>>s;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>sumt[i]>>sumc[i];
        sumt[i] += sumt[i-1];
        sumc[i] += sumc[i-1];
    }
    memset(f,0x3f3f,sizeof f);
    f[0] = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<i;j++)
            f[i] = min(f[i],f[j]+sumt[i]*(sumc[i]-sumc[j])+s*(sumc[n]-sumc[j]));
    cout<<f[n]<<'\\n';
    return 0;
}