高等数学 总结
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了高等数学 总结相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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1、函数
考点一：求函数的定义域
求具体函数的定义域
（1）原则
（2）做题方法
求抽象函数的定义域
（1）方法：由a≤φ(x)≤b 解出 x 的范围
（2）方法：求出φ(x) 在[a,b]上的值域.特别地，若φ(x)单调，则所求定义域为[φ(a),φ(b)]或[φ(b),φ[a]]
（3）已知f[φ(x)]的定义域为[a,b]，求f[φ(x)]的定义域
笔记
- 分数的分母 ≠ 0
- 根号里面的数 ≥ 0
- ln、lg、log都是对数
- ln以1为底、lg以10为底
- 解不等式组（复合函数，取交集）
- 1-x 分之 1+x >0 和 (1+x)(1-x)>0 是同解，得出(1+x)(x-1)<0，最后得出：-1<x<1
- sinx ≠ 0 → x ≠ kπ，因为 sinx 是一个周期函数 ，函数图像为：当x=0、x=π、x=2π、x=3π 时，sinx
都等于0，所以sin ≠ kπ - 注意：定义域指的是自变量 x 的范围。
考点二：求函数的值域
笔记
- 值域指的是因变量 y 的范围
考点三：相同函数的判断
定理
笔记
- 根号里面开偶次方根，必须加绝对值，举个例子：f(根号x的平方)=绝对值x
- 绝对值函数 实际上就是 分段函数
- 当 x≥n时，要去掉绝对值，需每个数字都要变符号
- 当 x<n时，要去掉绝对值，则可直接去掉
考点四：求函数表达式
方法一：直接带入
方法二：做恒等变形
方法三：换元法
笔记
- 碰到f[f(x)]时，先将f(x)写出来，再将f(x)的每一个值替换x即可
- 奇变偶不变，符号看象限
- 如果换元法做不出就要用恒扥变形，反之同理。
考点五：函数的四种性质
单调性
（1）定义
（2）判断：利用倒数符号
奇偶性
（1）定义
（2）常见
（3）运算性质
有界性
（1）定义
（2）常见
周期性
（1）定义
（2）常见的周期函数
考点六：求反函数
定义
求反函数步骤
考点七：基本初等函数
幂函数
指数函数
对数函数
（1）概念
（2）运算公式
（3）指数与对数的恒等变形
三角函数
反三角函数
2、极限
考点一：数列极限的定义
定义
笔记
- 当n→∞时，n分之1 = 0
- 当n→∞时，q的n次方（|q|<1）=0
考点二：函数极限的定义
定义一
定义二
笔记
- x→∞，要想极限存在，要求x→+∞ 与 x→-∞ 的时候极限相等，若不相等，则极限不存在。
- 当x→x0时，极限存在充要条件：x→x0+ 与 x→x0- 相等且存在
- 极限存在，也要求左右极限都存在且相等。
- 当x→0，则 x分之1→ ∞
- 0分之1 → ∞
- 一个数的负N次方等于这个数的N次方的倒数
考点三：极限的四则运算法则
法则
笔记
-
√1开n次方 = 1的n分之1次方，例如：√4开平方 = 4的分之一次方 = 2
-
n^0 = 1，例如：2012^0 = 1
-
等比数列前n相和公式
公式描述：公式中a1为数列首项，q为等比数列的公比，Sn为前n项和。 -
当分母极限 ≠ 0 成立时，才可以用四则运算法则
-
完全平方公式
-
平方差公式
公式描述：公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 -
化简特殊法则，根据分子与分母的最高次幂来相除可化简分式
-
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
-
lnM^n = nlnM
-
lne = 1
-
等差数列通项公式
公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn -
等差数列求和公式
公式描述：其中等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，公差为d，前n项和为Sn。 -
有理化就是分子分母通分
-
将一个数带到根号里化简需要平方再处，例如：n带入根号2n里化简，就是2n×n^2
考点四：抓大头
定义
考点五：夹逼定理
定义
笔记
用夹逼定理需要找出它 ≥ 谁 和 ≤ 谁，遵循：
≤时，分子不变，分母放大
≥时，分子不变，分母缩小
考点六：无穷小与无穷大
无穷小
无穷小的性质
无穷大
无穷小与无穷大的关系
考点七：无穷小的比较
定义
常见的等价无穷小
等价无穷小代换
笔记
- ln(1+x^2) 等价 x^2，例如：ln(1+x分之1) 等价 x分之1
- 如果乘除某一个因子，它的极限是一个非0常数，我们可以考虑先把它算出来
- 立方差公式
考点八：两个重要极限
重要极限一
重要极限二
笔记
e^2a=e，得出2a=1，因为1的任何次方都等于它本身，所以推出e=1，然后待续…（还未推完）
3、连续
考点一：函数的连续性
定理
类型一：判断连续性
类型二：已知连续，反求未知参数
笔记
- 连续就是极限值等于该点函数值，我们就可以认为它是连续的
- 连续成立的三个条件：
(1)f(x)在x0的某领域内有定义；
(2)x->x0,limf(x)存在；（极限连续）
(3)x->x0,limf(x)=f(x0)（极限相等）
考点二：函数的间断点
定义
分类
（1）第一间断点
可去间断点
跳跃间断点
（2）第二间断点
无穷间断点
振荡间断点
笔记
-
x’ = 1（解析）
-
sinx/x = 1（解析）
-
若分母为0则极限无定义
-
x→2分之π，若tanx为分母，则tanx = ∞
-
x→∞，x=0（解析）
-
间断点的判断标准
无定义的点一定是间断点
分段函数的分段点可能是间断点 -
1/∞=0（解析）
-
1/0=∞（解析）
-
若 tanx=0，则 x=kπ
-
求间断点类型，实际上就是求极限的值
-
洛必达法则（解析）
-
∞/n 或者 n/∞，结果都为：∞
考点三：利用零点定理证明根的存在性
零点定理
解题步骤
笔记
- ‘∃’这个符号指的是：存在
- 碰到具体函数，写显然连续
- 碰到抽象函数，写因为连续，所以连续
- 如果 ξ ∈ (0,1)直接解即可，但 ξ ∈ [0,1) 或者 ξ ∈(0,1] 再或者 [0,1]这种情况就要分开讨论了，题型难度也会提升很多
4、导数与微分
考点一：导数的定义
函数在一点处的导数
例题
单侧导数
（1）左导数
（2）右导数
充要条件
例题
笔记
- 判断函数在某一点处可导性的方法： 极限存在，说明函数可导
- 判断函数连续吗？可导吗？方法有两种： 方法一：求极限、求导 方法二：画图像（图像有尖点的函数都是不可导的）
- 把lim式子里所有的f去掉，算出来是几，就等于几倍的导
考点二：可导与连续的关系
知识点
例题
答案：C. 充分必要条件
笔记
- 可导一定连续，连续不一定可导
- 若A能推出B，A是B的充分条件，B是A的必要条件
- 连续是可导的必要条件
- 若原命题正确，则它的逆否命题也是正确的，例如： 可导 推出 连续 不连续 也能推出 不可导
考点三：导数的几何意义
知识点
切线方程、法线方程
例题
笔记
- 某一点处的导表示在该点处的切线斜率
- 直线方程：y-y0=k(x-x0)。其中，点表示 （x0,y0），k表示 斜率
- 切线也是直线
- 若切线和法线是相互垂直的，斜率相乘 = -1（k1 × k2=-1）
- 若两条直线平行，斜率相等
考点四：导数的基本公式及四则运算法则
基本初等函数的导数公式
求导法则
笔记
- 基本初等函数的导数公式：死记硬背
- 求导法则：死记硬背
考点五：求复合函数的导数
定理
例题
考点六：求隐函数的导数
定义
方法
例题
笔记
- 隐函数是相对于显函数来说的
- y=x+1 是一个显函数
- 解式子的时候，要把y’放在等式的一边，不含y’的放在等式的另一边
- 如果解隐函数式子到最后的时候与其他选项不一样（选择题），就要用原方程化简
考点七：求幂指函数的导数
幂指函数
求导方法
例题
笔记
- 两种解法：
方法一：对数求导法（先两边同时取对数，取完对数后在两边对x进行求导，解出y’）
方法二: 恒等变形（u^v = e^vlnu）
考点八：求由参数方程所确定的函数的导数
参数方程
求导方法
例题
笔记
- 参数方程求导就是分子分母同时除以dt
- 二阶导实际上就是对一阶导函数再对x求导
- dy/dt是y对t求导，dx/dt是x对t求导
- 求具体点处的导，先求函数导，再把具体的点往里面带
- cosx2-sinx2 = 1
- 想求二阶导，得先求一阶导
考点九：高阶导数
定义
例题
求n阶导的一般方法
例题
常见函数的高阶导数
例题
笔记
- (1/v)’ = -(v’/v^2)（由除法法则推导的公式）
- y’ 表示 一阶导，y’’ 表示 二阶导，y’’’ 表示 三阶导，y^(n) 表示 n阶导
- 对于幂函数，只要阶次比幂次高，值都是0，例如：(x5)(7)求7阶导 = 0
考点十：函数的微分
知识点
例题
笔记
- 一个函数可微分 实际上 就是可求导
- u^v = e^vlnu
5、不定积分
考点一：不定积分的概念及性质
原函数
例题
不定积分
例题
不定积分的性质
（1）线性性质
（2）积分运算与微分运算互逆
例题
笔记
- ∫ 表示 积分，d 表示 微分
- 不定积分 = 某一个原函数 + C
- 一个函数先积分再求导 = 这个函数本身，例如：[∫f(x)dx]’ = f(x)
- 一个函数先积分再求微分 = 这个函数本身 * dx，例如：d[∫f(x)dx] = f(x)*dx
- 一个函数求积分 = 函数本身 + C
- lnx=t，求得x=e^t（解析）
- e^lnx=x（解析）
- ∫（1+e^x）dx = x + e^x +C，最迷的是移出来1变成了x（因为它吧x dx变成某个常数乘以d(关于x^2)的东西了。）
- 求不定积分，结果一定要加上任意常数C
考点二：基本积分公式
基本积分公式
例题
笔记
- ∫(1/x^2)*dx = (-1/x)+C
- 再次强调，算不定义积分一定要 + 常数C
- 解不定积分式子时，有系数的情况，先把系数提出去
- tanx = sinx/cosx，cotx = cosx/sinx
- 倒数公式： cotx = 1/tanx secx = 1/cosx cscx = 1/sinx
- 倍角公式 sin2x = 2sinxcosx cos2x = 2cos^2 x-1=1-2sin^2 x=cos^2 x-sin^2 x
- sin^2 x+cos^2 x = 1，1+tan^2 x = sec^2 x，1+cot^2 x = csc^2 x
- 降幂公式 sin^2 x = 1-cos2x/2
6、中值定理及导数的应用
考点一：罗尔定理
罗尔定理
1、罗尔定理的验证
例题
2、利用罗尔定理证明根的存在性
（1）构造辅助函数
（2）验证罗尔定理的三个条件
（3）由罗尔定理得结论
3、利用罗尔定理判断根的个数
例题
笔记
- 对于具体函数：写显然可导 对于抽象函数：写因为…连续可导，所以…连续可导
- f(x)/x^2 求导后 可得：f’(x) - 2f(x)
- f(x)时五次多项式 推导出 f’(x)是四次多项式 推导出 f’(x)=0最多有4个实根
- 闭区间上连续，开区间上可导
考点二：拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
1、拉格朗日中值定理的验证
例题
2、利用拉格朗日中值定理证明不等式
3、利用拉格朗日中值定理的推论证明恒等式
例题
笔记
- 区间断点看，将中间部分写成差的形式
- ln1=0
- 开区间要分情况讨论
- lnM-lnN=lnM/N
考点三：洛必达法则
知识点
例题
笔记
- 看到∞/∞，0/0时，分子分母同时求导
- 当x→0时，1-cos2x 与 二分之一 * x^2 等价
- 加减时不能等价无穷代换，乘除时才可以
- 看到幂指函数，一定会用到公式：u^v = e^vlnu
- 当x→0时，sinx 与 x 等价
- 用洛必达之前，式子能化简化简，否则会越解越复杂
- 如果乘除的某一个因子，它的极限算出来是非零常数，可以考虑先把这个非零常数先算出来
- 1+tan^2 x = sec^2 x
考点四：函数的单调性
1、定义
2、判断
例题
3、求单调区间
例题
4、利用单调性证明不等式
例题
笔记
- 要知道函数单调性，需要对函数进行求导
- 1-cosx >= 0
- 分解因式
- 求单调区间要与定义域取交集
考点五：函数的极值
1、极值的定义
2、驻点
3、极值的必要条件
例题
4、极值的充分条件
（1）第一充分条件
（2）第二充分条件
例题
笔记
- 求驻点就是求导，让导数=0 即可
- 可导函数的极值点一定是驻点，驻点就是导数 = 0 的点
- 可微 => 可导
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