AcWing 3797. 最大化最短路（图论）

Posted 2021-09-03 CCSU_Cola

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题意：在k个特殊点之间选两个点，在之间连一条边，使得1-n的最短路最大。每条边的路的长度都为1。

思路：从起点和终点出发分别跑一次bfs，求出dist1数组和distn数组，可以知道在a,b两点之间连一条边,最短路可能会不变，也有可能变成dist1[a]+distn[b]+1或者distn[a]+dist1[b]+1,若发生改变，那么最短路的最大值就是min(dist1[a]+distn[b]+1,distn[a]+dist1[b]+1)，假设dist1[a]+distn[b]+1小于等于distn[a]+dist1[b]+1会得到dist1[a]-distn[a]<=dist1[b]-distn[b]那么我们只需要保证dist1[a]-distn[a]<=dist1[b]-distn[b]就可以保证最小值为dist1[a]+distn[b]+1。将k个特殊点按照dist1[i]-distn[i]排序，就可保证后面的点的dist1[i]-distn[i]大于前面的，但是为了使得dist1[a]+distn[b]+1最大，我们需要维护一个前缀的dist1[a]的最大值，然后与当前点的distn相加再加上1，即为dist1[a]+distn[b]+1，然后再每一个答案取一个max即可。还需和原来的dist1[n]取一个最小值，因为可能选取的两个点对最短路不造成影响。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200010;
int a[maxn],h[maxn];
int n,m,k,idx;
struct tt{
    int x,to;
};
tt e[maxn<<1];
int dist1[maxn],dist2[maxn];
void add(int a,int b){
    e[idx].x=b,e[idx].to=h[a],h[a]=idx++;
}
void bfs(int x,int dist[]){
    queue<int>q;
    q.push(x);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dist[i]=1e9;
    }
    dist[x]=0;
    while(!q.empty()){
        int t=q.front();
        q.pop();
        for(int i=h[t];i!=-1;i=e[i].to){
            int j=e[i].x;
            if(dist[j]>dist[t]+1){
                dist[j]=dist[t]+1;
                q.push(j);
            }
        }
    }
}
bool cmp(int a,int b){
    return dist1[a]-dist2[a]<dist1[b]-dist2[b];
}
int main(){
    memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=k;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    int x,y;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
    }
    bfs(1,dist1);
    bfs(n,dist2);
    sort(a+1, a+k+1,cmp);
    int res = 0;
    x = dist1[a[1]];
    for (int i=2;i<=k;i++)
    {
        int t=a[i];
        res=max(res, dist2[t]+x+1);
        x=max(x, dist1[t]);//更新当前点之前的dist1的最大值
    }
    printf("%d\\n",min(res,dist1[n]));//与本身的最短路取min
}