HDU 6774 String Distance（最长公共子序列 LCS）

Posted 2021-09-03 jpphy0

目录

• 问题
• 分析
• 算法
• • 引导
  • 如何计算
• 代码

问题

HDU 6774 String Distance - https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6774

分析

• 贪心不成立
• 若区间$[l，r]$与B串的最长公共子序列为 $lcs$，则 $ans=r-l+1+lenB-2\ast lcs$
• 因此本题的实质是求 A 的子串与 B 的最长公共子序列

算法

引导

• 问1：设串 $A$ 以 $l$ 为起点，到 $r_1$ 位置与 $B$ 串的最长公共子序列的长度为1
• 问2：设串 $A$ 以 $l$ 为起点，到 $r_2$ 位置与 $B$ 串的最长公共子序列的长度为2
• ……
• 明显，$r_1<r_2<r_3<r_4<\cdots$，
• 若 $r_i\le r<r_{i+1}$，表明：在给定的区间 $[l，r]$ 内，能够形成的最长公共子序列的长度是 $i$，因此 $lcs=i$
• 当然，以上关系也可以表述为：若 $r_i\le r$，则 $lcs=max(lcs，i)$

如何计算

• 方法：动态规划（DP）
• 设 $dp[k，len]$ 是 $B$ 串的前 $k$ 个字符与 $A$ 的子串有长度为 $len$ 的最长公共子序列时的最小右边界
• 若 $dp[k，len]\le r$，则此解为区间 $[l，r]$ 与 $B$ 串的前 $k$ 个字符有长度为$len$的最长公共子序列
• 辅助数组：设 $nxt[i，j]$ 是 $A$ 串的第 $i$ 个字符处，下一个 $j{+}^{\prime }{a}^{\prime }$ 字符的位置（包括第 $i$ 个字符），例如，$A[i]{=}^{\prime }{b}^{\prime }$，则$nxt[i]{[}^{\prime }{b}^{\prime }{-}^{\prime }{a}^{\prime }]=i$；预处理此数组，复杂度$O(26\cdot L_A)$
• 递推方程：$$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[nxt[i-1][j-1]+1][B[i]{-}^{\prime }{a}^{\prime }])$$
• 每次查询进行一次递推计算，每次递推计算复杂度 $O(L_B^2)$
• $q$次查询的复杂度为：$O(26\cdot L_A+q\cdot L_B^2)$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MXN = 100000+10;
char A[MXN], B[25];
int q, nxt[MXN][26], dp[25][25];
int solve(int l, int r){
	int lcs = 0, lb = strlen(B+1);
	memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= lb; ++i){
		dp[i][1] = min(dp[i-1][1], nxt[l][B[i]-'a']);
		if(dp[i][1] <= r && lcs < 1) lcs = 1;
	}
	for(int i = 2; i <= lb; ++i){
		for(int j = i; j <= lb; ++j){
			dp[j][i] = min(dp[j-1][i], nxt[dp[j-1][i-1]+1][B[j]-'a']);
			if(dp[j][i] <= r && lcs < i) lcs = i;
		}
	}
	return lcs;
}
int main(){
	int t, l, r, lcs;
	scanf("%d", &t);
	while(t--){
		scanf("%s%s%d", A+1, B+1, &q);
		int len = strlen(A+1);
		for(int i = 0; i < 52; ++i) nxt[len+1][i] = len+1;
		for(int i = len; i > 0; --i){
			for(int j = 0; j < 26; ++j) nxt[i][j] = nxt[i+1][j];
			nxt[i][A[i]-'a'] = i;
		}
		len = strlen(B+1);
		while(q--){
			scanf("%d%d", &l, &r);
			lcs = solve(l, r);
			printf("%d\\n", r - l + 1 + len - (lcs<<1));
		}
	}	
    return 0;
}