2021牛客暑期多校训练营1 Hash Function(同余/NTT)

Posted 2021-09-01 issue是fw

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$n$个数模$m$各不相同

考虑若$a_1$和$a_2$模完相同,那么有

$a_1=k_1\ast m+s,a_2=k_2\ast m+s$

也就是$m$为$|a_1-a_2|$的因子

所以现在就是求最小的$m$满足$m$不为$|a_i-a_j|$的因子,注意到$|a_i-a_j|<=500000$

所以可以预处理$[1,500000]$中哪些数可能作为差值出现

预处理了之后,可以暴力枚举$m$然后枚举$m$的倍数看看是否存在这样的差值,存在就不合法

这部分复杂度为$O(val\ast log(val))$(其中$val$表示值域)

预处理差值可以使用$\mathrm{F}\mathrm{F}\mathrm{T}/\mathrm{N}\mathrm{T}\mathrm{T}$

具体来说,就是令$f[a_i]=1$,再令$g[-a_i]=1$

然后$f$和$g$卷一下就可以得到差值,然而数组不能存负数,于是给$-a_i$设置一个偏移量$base$

让数组$f[a_i]$和数组$g[-a_i+base]$卷一下即可

这样如果存在数字$x,y$,就存在$f[x]$和$g[-y+base]$(其中$x>y$)

这样卷完之后得到的数组$s[x-y+base]$一定有值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 2e6+10;
const int base = 500000;
const int mod = 998244353, G = 3, Gi = 332748118;
int quick(int x,int n)
{
	int ans = 1;
	for( ; n ; n>>=1,x=x*x%mod )
		if( n&1 )	ans = ans*x%mod;
	return ans;
}
int n,m,a[maxn],f[maxn],g[maxn],r[maxn];
bool ok[base+2];
void NTT(int *a,int type,int limit)
{
	for(int i=0;i<limit;i++)
		if( i<r[i] )	swap( a[i],a[r[i]] );
	for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1)
	{
		int wn = quick( type==1?G:Gi,(mod-1)/(mid<<1) );
		for(int R=mid<<1,i=0;i<limit;i+=R )
		for(int k=0,w=1;k<mid;k++,w=w*wn%mod )
		{
			int x = a[i+k], y = w*a[i+k+mid]%mod;
			a[i+k] = (x+y)%mod, a[i+k+mid] = (x-y+mod)%mod; 
		}
	}
}
int limit,l;
void mul(int a[],int b[],int n,int m)
{
	limit = 1;
	while( limit<=n+m )	limit <<= 1,l++;
	for(int i=0;i<limit;i++)
		r[i] = (r[i>>1]>>1 ) | ( (i&1)<<(l-1) );
	NTT(a,1,limit); NTT(b,1,limit);
	for(int i=0;i<limit;i++)	a[i] = a[i]*b[i]%mod;
	NTT(a,-1,limit);
	int inv = quick(limit,mod-2);
	for(int i=0;i<=n+m;i++)	a[i] = a[i]*inv%mod;
}
signed main()
{
	cin >> n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)	f[a[i]] = 1, g[base-a[i]] = 1;
	mul( f,g,base,base );
	for(int i=0;i<=base+base;i++)
	{
		if( f[i] )
			ok[abs(i-base)] = 1;
	}
	for(int m=2;;m++)
	{
		int flag = 0;
		for(int j=m;j<=base;j+=m)	flag |= ok[j];
		if( flag==0 ){ cout << m; return 0; }
	}
}