2021牛客暑期多校训练营1 G.Game of Swapping Numbers(贪心,思维)

Posted 2021-09-01 issue是fw

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考虑不管怎么交换,设最后的数组为$a$数组

考虑绝对值的含义,$a_i$和$b_i$一定有一个被加上,一个被减去

那么如果不固定$k$的取值,最优情况相当于把$a,b$数组合并排序一下

前$n$大的数就把正号赋给他们,后面$n$个数就把负号赋给他们，这样是最优的

所以考虑一对$(a_i,b_i)$,在最优解中被赋的正负号不同,那么就不需要管.因为这种情况下较大的那个数被赋的一定是正号,较小的那个数被赋的一定是正号

于是我们只需要考虑哪些$a_i,b_i$同时被赋为正(设这样的对的集合为$S_1$)或同时赋为负号的对(设这样的集合为$S_2$)

显然我们每次交换$S_1$和$S_2$即可以最小步数达到最优解,设需要交换$z$次($z$即$S_1$中的元素个数)

若$k>=z$,那么一定是能达到最优解的,因为最优解中$a$中一定存在两个$+$号或两个$-$号,交换这样的对答案不变

若$k<z$,考虑怎样交换会比较好

设$S_1$中的一个对为$a_i,b_i$其中较小数为$c$较大数为$d$

而$S_2$中的元素为$a_j,b_j$,其中较小数为$e$较大数为$f$

那么交换前这两个对之前收益是$(d-c)+(f-e)$

又因为$S_1$中的所有元素必定大于$S_2$中的所有元素(因为在最终的排序后排在前面$n$个元素)

交换后这两个对的收益是$(d-e)+(c-f)$

也就是交换后收益多了$2\ast (c-f)$,也就是多了$2\ast (\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\mathrm{a}}_{\mathrm{i}},{\mathrm{b}}_{\mathrm{i}})-\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathrm{a}}_{\mathrm{j}},{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}))$

于是同样是交换$k$次,$S_1$我们以$\min (a_i,b_i)$为依据大到小排序,而$S_2$以$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}({\mathrm{a}}_{\mathrm{j}},{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}})$以小到大为依据排序

这样从前往后交换对应的位置一定最优

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e7+10;
int n,k,a[maxn],b[maxn],f[maxn];
typedef pair<int,int>p;
struct RR
{
	int val,id;
	bool operator < ( const RR&tmp ) const { return val>tmp.val; }
}S[maxn]; int top;
vector<int>S1,S2;
void solve()
{
	if( n==2 )
	{
		if( k&1 )	swap( a[1],a[2] );
		cout << abs( a[1]-b[1] )+abs( a[2]-b[2] );
		exit( 0 );
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans += S[i].val;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans -= S[i+n].val;
	cout << ans;
	exit( 0 );
}
signed main()
{
	cin >> n >> k;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> a[i],S[++top] = {a[i],i};
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> b[i],S[++top] = {b[i],i+n};
	sort( S+1,S+1+top ); 
	for(int i=1;i<=top;i++)	f[S[i].id] = (i<=n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if( f[i]!=f[i+n] )	continue;//不同号
		if( f[i] )	S1.push_back( min(a[i],b[i]) );//都是正号 
		else	S2.push_back( max(a[i],b[i]) );//都是负号 
	}
	if( k>=S1.size() )	solve();//完美匹配 
	sort( S1.begin(),S1.end(),[](int a,int b){ return a>b; } );
	sort( S2.begin(),S2.end(),[](int a,int b){ return a<b; } );
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)	ans += abs( a[i]-b[i] );
	for(int i=0;i<k;i++)	ans += 2*( S1[i]-S2[i] );
	cout << ans;
}