[APIO2011]

Posted 2020-09-07 FallDream

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A.[Apio2011]方格染色

Sam和他的妹妹Sara有一个包含n × m个方格的表格。她们想要将其的每个方格都染成红色或蓝色。出于个人喜好，他们想要表格中每个2 ×   2的方形区域都包含奇数个（1 个或 3 个）红色方格。例如，右图是一个合法的表格染色方案（在打印稿中，深色代表蓝色，浅色代表红色） 。 可是昨天晚上，有人已经给表格中的一些方格染上了颜色！现在Sam和Sara非常生气。不过，他们想要知道是否可能给剩下的方格染上颜色，使得整个表格仍然满足她们的要求。如果可能的话，满足他们要求的染色方案数有多少呢？  $n,m,k\leqslant 10^{6}$

题解：打表观察了一波，除了答案貌似是2的倍数,很经常是$2^{n+m-1}$以外都不懂，无奈看题解。

我们可以把限制条件当作异或关系式，（我不懂怎么打异或，就用$\veebar$ 代替吧）即对于$x>1且y>1,S[x][y]\veebar S[x][y-1]\veebar S[x-1][y]\veebar S[x-1][y-1]=1$，对于一个在$(a,b),a>1,b>1$的已经有颜色的块，我们把所有$x\leqslant a,y\leqslant b$的异或关系式塔起来，得到$Sab\veebar S[a][1]\veebar S[1][b]\veebar S[1][1]=Color(a,b)$这个式子只有在ab都是偶数的时候，才等于1。假如确定了$(1,1)$的颜色，那我们就能用一个异或方程表示第a行和第b列的关系。那我们就直接枚举$(1,1)$的颜色，通过并查集维护就可以啦。在维护的时候，如果出现矛盾，说明无解，否则假设联通块有num个，答案是$2^{num-1}$ 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MN 1000000
#define mod 1000000000
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0 , f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){ if(ch == ‘-‘) f = -1;  ch = getchar();}
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘){x = x * 10 + ch - ‘0‘;ch = getchar();}
    return x * f;
}
int n,m,k,fa[MN*2+5],g[MN*2+5],ans=0;
struct limit{int x,y,z;}s[MN+5];

int pow(int x,int k)
{
    int sum=1;
    for(int i=x;k;k>>=1,i=1LL*i*i%mod)
        if(k&1)
            sum=1LL*sum*i%mod;
    return sum;
}

int getfa(int x)
{
    if(fa[x]==x) return x;
    int t=getfa(fa[x]);g[x]^=g[fa[x]];
    return fa[x]=t;
}

int calc()
{
    for(int i=1;i<=m+n;i++) fa[i]=i,g[i]=0;fa[n+1]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        if(s[i].x+s[i].y<=2) continue;
        int x=getfa(s[i].x),y=getfa(s[i].y+n),t=g[s[i].x]^g[s[i].y+n]^s[i].z;
        if(x!=y){fa[x]=y;g[x]=t;}
        else if(t) return 0;
    }
    int num=0;
    for(int i=1;i<=n+m;i++)
        if(fa[i]==i) num++;
    return pow(2,num-1);
}

int main()
{
    n=read();m=read();k=read();
    bool flag[2];
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        s[i].x=read();s[i].y=read();s[i].z=read();    
        if(s[i].x+s[i].y<3) flag[s[i].z]=1;
        if(!(s[i].x&1||s[i].y&1)) s[i].z^=1;
    }
    if(!flag[1]) ans+=calc();
    if(!flag[0]) 
    {
        for(int i=1;i<=k;i++) if(s[i].x>1&&s[i].y>1)s[i].z^=1;
        ans+=calc();
    }
    cout<<ans%mod;
    return 0;
}

 B.寻路

一个二维平面上有很多个矩形，你要从一个给定的点向上下左右任意方向出发，然后只能在矩形的边上或者角上转弯，问到达另一个点的最短路径。

20组数据，每组矩形数量不超过1000

题解：我们考虑最短路，直接建图最多只会有n^2个点，但是它们不全是有用的，所以我们考虑从每一个矩形的角上向四周出发连边，这样最多只有12n个点，跑最短路就行了。建图稍微复杂点。

复杂度Tnlogn

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define INF 20000000000000LL
#define MN 1000 
#define mp(x,y) make_pair((x),(y)) 
#define pa pair<ll,int> 
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0 , f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){ if(ch == ‘-‘) f = -1;  ch = getchar();}
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘){x = x * 10 + ch - ‘0‘;ch = getchar();}
    return x * f;
}
int n,cnt,lcnt,cn,head[MN*100];
inline int abs(int x){return x<0?-x:x;}
struct L{
    int l,r,x;
    vector<int> s;
    L(){}
    L(int l,int r,int x):l(l),r(r),x(x){s.clear();}
    bool operator<(const L&b)const{return x<b.x;}
}r[MN*5+5],c[MN*5+5];
struct P
{
    int x,y;
    P(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}
    friend int dis(P x,P y){return abs(x.x-y.x)+abs(x.y-y.y);}
    bool operator==(const P&b)const{return x==b.x&&y==b.y;}
}p[MN*MN+5];
bool cmp(int x,int y){return p[x].x==p[y].x?p[x].y<p[y].y:p[x].x<p[y].x;}
struct edge{int to,next,w;}e[MN*100+5];
inline void ins(int f,int t,int w){e[++cn]=(edge){t,head[f],w};head[f]=cn;};
priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> > q;
ll d[MN*100];bool mark[MN*100];
 
void dij()
{
    memset(d,127,sizeof(d));memset(mark,0,sizeof(mark));
    d[1]=0;q.push(mp(0,1));
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.top().second;q.pop();  
        if(mark[now]) continue;mark[now]=1;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
            if(d[now]+e[i].w<d[e[i].to])
            {
                d[e[i].to]=d[now]+e[i].w;
                q.push(mp(d[e[i].to],e[i].to));
            }
    }
}
 
int main()
{
    int T=read();
    while(T--)
    {
        memset(head,0,sizeof(head));
        cnt=lcnt=cn=0;int fx=read(),fy=read(),tx=read(),ty=read();
        p[++cnt]=P(fx,fy);p[++cnt]=P(tx,ty);    
        if(fx==tx||fy==ty) ins(1,2,dis(p[1],p[2])),ins(2,1,dis(p[1],p[2]));
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int x1=read(),y1=read(),x2=read(),y2=read();
            if(x1>x2) swap(x1,x2);if(y1>y2) swap(y1,y2);
            p[++cnt]=P(x1,y1);p[++cnt]=P(x1,y2);
            p[++cnt]=P(x2,y1);p[++cnt]=P(x2,y2);
            c[++lcnt]=L(cnt-3,cnt-1,y1);r[lcnt]=L(cnt-3,cnt-2,x1);
            c[++lcnt]=L(cnt-2,cnt,y2);r[lcnt]=L(cnt-1,cnt,x2);
        }
        sort(c+1,c+lcnt+1);sort(r+1,r+lcnt+1);
        for(int i=cnt;i;--i)
        {
            int j,id;P now;
            j=lower_bound(c+1,c+lcnt+1,L(0,0,p[i].y))-c-1;
            for(;j&&!(p[c[j].l].x<=p[i].x&&p[c[j].r].x>=p[i].x);--j);
            if(j)
            {
                now=P(p[i].x,c[j].x);
                if(now==p[c[j].l]) id=c[j].l;
                else if(now==p[c[j].r]) id=c[j].r;
                else p[id=++cnt]=now;
                ins(i,id,dis(now,p[i]));
                ins(id,i,dis(now,p[i]));
                c[j].s.push_back(id);
            }
            j=upper_bound(c+1,c+lcnt+1,L(0,0,p[i].y))-c;
            for(;j<=lcnt&&!(p[c[j].l].x<=p[i].x&&p[c[j].r].x>=p[i].x);++j);
            if(j<=lcnt)
            {
                now=P(p[i].x,c[j].x);
                if(now==p[c[j].l]) id=c[j].l;
                else if(now==p[c[j].r]) id=c[j].r;
                else p[id=++cnt]=now;
                ins(i,id,dis(now,p[i]));
                ins(id,i,dis(now,p[i]));
                c[j].s.push_back(id);
            }
            j=lower_bound(r+1,r+lcnt+1,L(0,0,p[i].x))-r-1;
            for(;j&&!(p[r[j].l].y<=p[i].y&&p[r[j].r].y>=p[i].y);--j);
            if(j<=lcnt)
            {
                now=P(r[j].x,p[i].y);
                if(now==p[r[j].l]) id=r[j].l;
                else if(now==p[r[j].r]) id=r[j].r;
                else p[id=++cnt]=now;
                ins(i,id,dis(now,p[i]));
                ins(id,i,dis(now,p[i]));
                r[j].s.push_back(id);
            }
            j=upper_bound(r+1,r+lcnt+1,L(0,0,p[i].x))-r;
            for(;j<=lcnt&&!(p[r[j].l].y<=p[i].y&&p[r[j].r].y>=p[i].y);++j);
            if(j<=lcnt)
            {
                now=P(r[j].x,p[i].y);
                if(now==p[r[j].l]) id=r[j].l;
                else if(now==p[r[j].r]) id=r[j].r;
                else p[id=++cnt]=now;
                ins(i,id,dis(now,p[i]));
                ins(id,i,dis(now,p[i]));
                r[j].s.push_back(id);
            }
        }
        for(int i=1;i<=lcnt;i++)
        {
            sort(c[i].s.begin(),c[i].s.end(),cmp);
            for(int j=1;j<c[i].s.size();j++)
            {
                ins(c[i].s[j],c[i].s[j-1],dis(p[c[i].s[j]],p[c[i].s[j-1]]));
                ins(c[i].s[j-1],c[i].s[j],dis(p[c[i].s[j]],p[c[i].s[j-1]]));
            }
            sort(r[i].s.begin(),r[i].s.end(),cmp);
            for(int j=1;j<r[i].s.size();j++)
            {
                ins(r[i].s[j],r[i].s[j-1],dis(p[r[i].s[j]],p[r[i].s[j-1]]));
                ins(r[i].s[j-1],r[i].s[j],dis(p[r[i].s[j]],p[r[i].s[j-1]]));
            }
        }
        dij();
        if(d[2]<INF) printf("%lld\n",d[2]);
        else puts("No Path");
    }
    return 0;
}  

 C题不知道什么鬼，solve=0,貌似数据都是错的，不玩了