在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

1.计算斐波那契数Fib的时间复杂度？答案：O（2^N）

long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

解：

2.计算阶乘递归Fac的时间复杂度？答案：O（N）

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

常见复杂度对比：

空间复杂度：

空间复杂度也是一个数学表达式是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

1.计算BubbleSort的空间复杂度？答案:O(1)

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

2.计算Fibonacci的空间复杂度？答案：O(N)

返回斐波那契数列的前n项

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

3.计算阶乘递归Fac的空间复杂度？答案：O（N）

long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

下面看个例子，跟时间复杂度做个对比：

4.计算斐波那契数Fib的空间复杂度？答案：O（N）

long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

因为时间是累计的，空间不累计的（可以重复利用）

习题实战(力扣)：

第一题：消失的数字：数组`nums`包含从`0`到`n`的所有整数，但其中缺了一个。请编写代码找出那个缺失的整数。你有办法在O(n)时间内完成吗？

解法一：

排序：一次查找上一个数，是否等于下一个数，就继续，不等于，这个数就是缺失的数字

qsort快排，时间复杂度O（N*logN）复杂度不符合要求

解法二：

求和，等差数列公式计算0+1+2+3.....+n，在减去数组中的值累加，得到的值就是缺失的数字

时间复杂度O（N）

解法三：

异或：x = 0,x 跟0-n之间数异或，再跟数组中值异或，相当于其他数组出现了两次，缺失的数字只出现了一次，时间复杂度O（N）
int missingNumber(int* nums, int numsSize)
{
	int x = 0;
	for (int i = 0; i< numsSize; i++)
	{
		x = x^ nums[i];
	}
	for (int i = 0; i <= numsSize; i++)
	{
		x = x^i;
	}
	return x;
}

int main()
{
	int arr[] = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
	int ret = missingNumber(arr, sz);
	printf("%d",ret);
	return 0;
}

第二题：给定一个数组，将数组中的元素向右移动 `k` 个位置，其中 `k` 是非负数。

解法一：

右旋一次，保留最后一个值到tmp变量，数组中值都向右挪动1次，再把tmp放在最左边

再套一层循环，右旋k次就可以

时间复杂度：O（N*（k%N）），最好是O(1)（K==N），最坏是O（N^2）（K==N-1）

空间复杂度：O（1）

解法二：

空间换时间

1,2,3,4,5,6,7 时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)

解法三：

见此处的方法2，时间复杂度O(N)，空间复杂度O(1)
void reverse(int nums[], int begin, int end)
{
	while (begin < end)
	{
		int tmp = nums[begin];
		nums[begin] = nums[end];
		nums[end] = tmp;
		begin++;
		end--;
	}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
	k = k % numsSize;
	reverse(nums, 0, numsSize - k - 1);
	reverse(nums, numsSize - k, numsSize - 1);
	reverse(nums, 0, numsSize - 1);
}

以上是关于数据结构算法的时间复杂度和空间复杂度的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

7种基本排序算法的Java实现

一文讲透算法中的时间复杂度和空间复杂度计算方式