Amount of Degrees 数位DP

Posted 2021-09-01 行码棋

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题目
求给定区间 $[X,Y]$ 中满足下列条件的整数个数：这个数恰好等于 $K$ 个互不相等的 $B$ 的整数次幂之和。例如，设 $X=15,Y=20,K=2,B=2$，则有且仅有下列三个数满足题意：

$17=2^4+2^0$
$18=2^4+2^1$
$20=2^4+2^2$

思路：
定义$dp(n)$为小于等于$n$的满足题目条件的数的个数

则$[l,r]$区间内满足题意的数的个数为$dp(r)-dp(l-1)$,类似前缀和的思想

转化题意为：
求在目标区间内的数中化为B进制数中，数位中有K个1的个数。

初始化$init$是初始化组合数的，利用公式$C_a^b=C_{a-1}^b+C_{a-1}^{b-1}$初始化

last为前面已经选过的1的个数,res为总的个数

从最高位枚举每一位，如果当前位大于等于1，

• 先加上当前位数为0的情况，即$C_i^{K-last}$,i表示后面剩余的位数，

• 然后就可以加上当前位等于1的情况，即$C_i^{K-last-1}$，当前位为1，所以要多减去1

• 当前位等于1时要更新last

然后就是最后一位时进行特判，如果最后一位为0时，且之前的last=K，说明本身这个数也满足条件，需要加上去

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 35;

int f[N][N];
int K,B;

void init()
{
	for(int i=0;i<N;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			if(!j) f[i][j] = 1;
			else f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i-1][j];
}

int dp(int n)
{
	if(n==0) return 0;
	vector<int>nums;
	
	while(n) nums.push_back(n%B),n/=B;
	
	int res = 0,last = 0;
	for(int i=nums.size()-1;i>=0;i--)
	{
		int x = nums[i];
		if(x)
		{
			res += f[i][K-last];
			if(x>1)
			{
				if(K-last-1>=0)res += f[i][K-last-1];
				break;
			}
			else 
			{
				last++ ;
				if(last>K) break;
			}
		}
		if(!i && last==K) res++;
	}
	return res;
}
int  main()
{
	init();
	int l,r;
	cin>>l>>r>>K>>B;
	
	cout<<dp(r)-dp(l-1)<<'\\n';
	return 0;
}