LeetCode 63. 不同路径 II

Posted 2021-09-01 ZSYL

LeetCode 63. 不同路径 II

• 题目描述
• 算法思路
• 参考代码

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

算法思路

我们用 f(i,j) 来表示从坐标 (0,0) 到坐标 (i,j) 的路径总数，u(i, j) 表示坐标 (i,j) 是否可行，如果坐标 (i,j) 有障碍物，u(i, j) = 0，否则 u(i,j)=1。

很显然我们可以给出一个时间复杂度 O(nm) 并且空间复杂度也是 O(nm) 的实现，由于这里 f(i,j) 只与 f(i−1,j) 和 f(i,j−1) 相关，我们可以运用「滚动数组思想」把空间复杂度优化称 O(m)。

1. (i,j) 位置只能从 (i−1,j) 和 (i,j−1) 走到，这样的条件就是在告诉我们这里转移是「无后效性」 的，f(i, j) 和任何的 f(i’, j’)（i’ > i, j’ > j）无关。
2. 动态规划的题目分为两大类，一种是求最优解类，典型问题是背包问题，另一种就是计数类，比如这里的统计方案数的问题，它们都存在一定的递推性质。前者的递推性质还有一个名字，叫做 「最优子结构」 ——即当前问题的最优解取决于子问题的最优解，后者类似，当前问题的方案数取决于子问题的方案数。所以在遇到求方案数的问题时，我们可以往动态规划的方向考虑。

通常如果我们察觉到了这两点要素，这个问题八成可以用动态规划来解决。大家可以多多练习，熟能生巧。

参考代码

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int n = obstacleGrid.length;
        int m = obstacleGrid[0].length;
        int[] f = new int[m];
        // 初始化起始位置
        f[0] = obstacleGrid[0][0] == 0 ? 1: 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                // 如果是障碍物，则该位置为0
                if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
                    f[j] = 0;
                    continue;
                }
                if (j-1 >= 0 && obstacleGrid[i][j - 1] == 0) {
                    f[j] += f[j-1];
                }
            }
        }
        return f[m-1];
    }
}

第二个if里面的判断条件 obstacleGrid[i][j - 1] == 0 是可以优化去掉的。

因为空间压缩后，当前的f[j]由f[j-1] 和 上一轮的f[j]转移：

f[j-1]在上一趟循环中已经更新（如果obstacleGrid[i][j-1] == 1，f[j-1] = 0）

f[j]是上一轮的，也已经更新（如果obstacleGrid[i-1][j]== 1，f[j] = 0）

复杂度分析

• 时间复杂度：O(nm)，其中 n 为网格的行数，m 为网格的列数。我们只需要遍历所有网格一次即可。
• 空间复杂度：O(m)。利用滚动数组优化，我们可以只用 O(m) 大小的空间来记录当前行的 f 值。