可持久化4--可持久化并查集

Posted 2021-09-01 Jozky86

可持久化并查集

可持久化并查集 = 按秩合并并查集 + 可持久化数组

首先并查集不能采用路径压缩，这是因为一次findR操作中，fa数组的很多位置（u->ru）会发生修改，由于每次修改都需要在可持久化数组上复制产生log个新结点，空间复杂度过大。我们不希望每个版本的fa数组的差别太大，最好只有常数个位置改变。

启发式合并/按秩合并

当 merge(u,v) 时，找到ru,rv后，让 sz 小的接在sz大的下面：

if(sz[ru] > sz[rv]) swap(ru,rv);
fa[ru] = rv;
sz[rv] += sz[ru]

或者让高度（到叶子的最长距离）height 小的接在 height 大的下面：

if(height[ru] > height[rv]) swap(ru,rv);
fa[ru] = rv;
if(height[ru] == height[rv]) ++height[rv];

按sz合并一般称为启发式合并，按height合并一般称为按秩合并，二者的复杂度都是logN（每向上走1条边，身处的子树sz至少扩大1倍），且每次 merge 操作时，fa数组只有2个位置会发生修改(fa[ru]和sz[rv])，直接用可持久化下标线段树维护fa数组就可以实现可持久化。
空间复杂度是O(NlogN)
时间复杂度是O($Nlo{g}^{2}N$)

例题：

P3402 可持久化并查集
「NOI2018」归程