图论基础——二分图

Posted 2021-09-01 KaaaterinaX

二分图可以把图中所有顶点分到两个集合内，并且使得集合内部没有边。

重要性质：
一个图是二分图，当且仅当图中不含奇数环。

一、染色法判二分图
复杂度$O(n+m)$
运用深度优先搜索对节点逐个染色，遇到矛盾返回false，据此判断是否为二分图。

const int maxn=1e5+7;

vector<int> mp[maxn];

int c[maxn];//记录点的颜色

bool dfs(int u,int co){
    c[u]=co;
    for(int i=0;i<mp[u].size();i++){
        int to=mp[u][i];
        if(!c[to]){
            if(!dfs(to,3-co)) return false;
        }
        else if(c[to]==co) return false;
    }
    return true;
}

int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        mp[a].pb(b);
        mp[b].pb(a);
    }
    int flag=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!c[i]){
            //还没有染色
            if(!dfs(i,1)){
                flag=0;
                break;
            }
        }
    }
    if(flag){
        cout<<"Yes"<<endl;
    }
    else{
        cout<<"No"<<endl;
    }
}

二、匈牙利算法
最坏复杂度$O(nm)$，但是实际远小于此。

给定一个二分图，求最大匹配
P3386 【模板】二分图最大匹配

const int maxn=510;

vector<int> mp[maxn];

int match[maxn];

bool vis[maxn];

bool find(int u){
    for(int i=0;i<mp[u].size();i++){
        int to=mp[u][i];
        if(!vis[to]){
            vis[to]=1;
            if(match[to]==0||find(match[to])){
                match[to]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    int n,m,e;
    cin>>n>>m>>e;
    for(int i=1;i<=e;i++){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        mp[a].pb(b);//只需记录左边的节点指向右边的节点单向边
    }
    //枚举左边的点
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof vis);
        if(find(i)) res++;
    }
    cout<<res<<endl;
}

图论题目难在抽象建图以及对模版的修改，重点还是多刷题，这篇博客记录基础模版，之后出刷题记录。