Leetcode——剪绳子

Posted 2021-09-01 Yawn,

1. 题目

2. 题解

（1）动态规划

• 我们想要求长度为n的绳子剪掉后的最大乘积，可以从前面比n小的绳子转移而来
• 用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积，也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积，初始化dp[2] = 1
• 我们先把绳子剪掉第一段（长度为j），如果只剪掉长度为1，对最后的乘积无任何增益，所以从长度为2开始剪
• 当 i≥2 时，假设对正整数 i 拆分出的第一个正整数是 j（1≤j<i），则有以下两种方案：
  将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 不再拆分成多个正整数，此时的乘积是 j×(i−j)；
  将 i 拆分成 j 和 i−j 的和，且 i−j 继续拆分成多个正整数，此时的乘积是 j×dp[i−j]。
• 第一段长度j可以取的区间为[2,i)，对所有j不同的情况取最大值，因此最终dp[i]的转移方程为
  dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
• 最后返回dp[n]即可

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i < n + 1; i++){
            for(int j = 2; j < i; j++){
               //为什么可以固定一个j呢，因为j在遍历中都能被取到
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

如果看不懂的话，来个最容易懂的：

• 固定划分点，继续看子划分区间能不能继续划分

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        //i表示绳子长度
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            //j表示分的段的长度,小于i
            for(int j = 1;j < i;j++){
                //都不能分了
                int a = j * (i - j);
                //j不能分,i - j能分
                int b = j * dp[i - j];
                //以此类推
                int c = dp[j] * (i - j);
                int d = dp[j] * dp[i - j];
                int e = dp[i];
                dp[i] = Math.max(Math.max(Math.max(a,b),Math.max(c,d)),e);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

（2）贪心

核心思路是：尽可能把绳子分成长度为3的小段，这样乘积最大
步骤如下：

• 如果 n == 2，返回1
• 如果 n == 3，返回2，两个可以合并成n小于4的时候返回n - 1
• 如果 n == 4，返回4
• 如果 n > 4，分成尽可能多的长度为3的小段，每次循环长度n减去3，乘积res乘以3；最后返回时乘以小于等于4的最后一小段

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2)  
        	return 1;
        if(n == 3)  
        	return 2;
        int res = 1;
        while(n > 4){
            res *= 3;
            n -= 3;
        }
        return res * n;
    }
}

当 n 很大时：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        if(n == 2)  
        	return 1;
        if(n == 3)  
        	return 2;
        long a = 1;
        long mod = 1000000007;
        while(n > 4){
            n = n - 3;
            a = (a * 3) % mod;
        }
        long ans = a * n % mod;
        return (int)ans;
    }
}