拉格朗日插值法

Posted 2021-08-31 Harris-H

拉格朗日插值法

重心拉格朗日插值法

gu

拉插板子

cal 离散点拉插$O(n^2)$

inpo 连续点拉插$O(n)$

//Lagrange Interpolation 
#define il inline
il ll ksm(ll a,ll n,ll m=mod){ll s=1;while(n){if(n&1) s=s*a%m;a=a*a%m;n>>=1;}return s;}
struct LR{
	ll x[N],y[N];int n;
	ll fac[N+5],facinv[N+5],inv[mod+5];
	il ll Inv(ll n){return ksm(n,mod-2);}
	il void init(){	//预处理阶乘和阶乘逆元,逆元.
		fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
		facinv[N]=Inv(fac[N]);
		for(int i=N-1;~i;i--) facinv[i]=facinv[i+1]*(i+1)%mod;
		for(int i=2;i<mod+5;i++)
			inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	il ll cal(ll k){	//离散点n个点[0,n-1] x[i],y[i] 插f(k)
		ll s=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			ll p=y[i]%mod,q=1;
			for(int j=0;j<n;j++){
				if(i==j) continue;
				p=p*(k-x[j])%mod;
				q=q*(x[i]-x[j])%mod;
			}
			s=(s+p*Inv(q)%mod)%mod;
		}return (s%mod+mod)%mod;
	}
	il ll inpo(ll *f,int n,ll x){	//给定 连续i属于[0,n] f(i) 拉插f(x)
		ll c=1,p,s=0;
		for(int i=0;i<=n;i++) c=c*(x-i)%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			p=c*inv[x-i]%mod*facinv[n-i]%mod*facinv[i]%mod;
			if((n-i)&1)  s=(s-p*f[i]%mod)%mod;
			else s=(s+p*f[i]%mod)%mod;
		}
		return (s%mod+mod)%mod;
	}
}L;

连续插值板子

对于一个$n$次多项式。

连续插值$x\in [0,n]$

$f_k=\sum _{i=0}^n{f}_i\prod _{j\ne i}\frac{k-j}{i-j}$

先提出来没有$k$的 $\prod _{j\ne i}\frac{1}{i-j}$

拆开：$\prod _{j\ne i}\frac{(-1{)}^{n-i}}{i!(n-i)!}$​

分子先预处理出所有的$c=\prod _{i=0}^n(k-i)$

则$f_k=\sum _{i=0}^n{f}_i\prod _{j\ne i}\frac{k-j}{i-j}=\sum _{i=0}^n{f}_i\frac{c}{i!(n-i)!(-1{)}^{n-i}(k-i)}$

预处理出阶乘逆元$facinv(i)$​ 和数的逆元$inv(i)$​。

注意$inv(k-i)$ 若$k$很大是预处理不了的，只能费马小定理或者$exgcd$。

时间复杂度：$O(n)$

	il ll inpo(ll *f,int n,ll x){	//给定 连续i属于[0,n] f(i) 拉插f(x)
		ll c=1,p,s=0;
		for(int i=0;i<=n;i++) c=c*(x-i)%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			p=c*inv[x-i]%mod*facinv[n-i]%mod*facinv[i]%mod;
			if((n-i)&1)  s=(s-p*f[i]%mod)%mod;
			else s=(s+p*f[i]%mod)%mod;
		}
		return (s%mod+mod)%mod;
	}
使用费马小定理求inv(x-i)
	il ll inpo(ll *f,int n,ll x){	//给定 连续i属于[0,n] f(i) 拉插f(x)
		ll c=1,p,s=0;
		for(int i=0;i<=n;i++) c=c*(x-i)%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			p=c*Inv(x-i)%mod*facinv[n-i]%mod*facinv[i]%mod;
			if((n-i)&1)  s=(s-p*f[i]%mod)%mod;
			else s=(s+p*f[i]%mod)%mod;
		}
		return (s%mod+mod)%mod;
	}

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习题

2019 ICPC 邀请赛(南昌) B-Polynomial

https://nanti.jisuanke.com/t/40254

考虑如何快速求出$S(n)=\sum _{i=0}^{n}f(i)$

以上是关于拉格朗日插值法的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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