CodeForces - 1549F1 Gregor and the Odd Cows (Easy)(几何+数论)

Posted 2021-08-31 Frozen_Guardian

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题目大意：给出二维平面上的 $n$ 个点，任意选择出三个点可以构成一个三角形，现在问满足下面条件的三角形的个数：

1. 三角形面积为整数
2. 三角形包含的（不包括边界）整数点为奇数

其中所有坐标点的 $x$ 和 $y$ 都是偶数

题目分析：因为所有坐标点都是偶数，所以先猜一波任意三个点都是满足第一个条件的，也就是围成的三角形面积一定是偶数。

所以现在问题就转换为了，如何求解满足第二个条件的三角形的个数。赛中经队友提醒，得知了“皮克定理”这一关键的结论，即 $S=a+\frac{b}{2}-1$，其中 $S$ 为三角形的面积，$a$ 为三角形内部的点数，$b$ 为三角形边界上的点数。$b$ 非常好求，每条边上的答案就是 $\gcd (dx,dy)+1$，放在三角形上就是 $\gcd (|x1-x2|,|y1-y2|)+\gcd (|x1-x3|,|y1-y3|)+\gcd (|x3-x2|,|y3-y2|)+3-3$，因为三个顶点分别计算了两次，所以减去三之后就是这个答案了

皮克定理移项之后得到 $a=\frac{b}{2}-1-S$，如果 $a$ 想要为奇数，那么 $a+1=\frac{b}{2}-S$ 需要是偶数，因为上面已经保证了 $S$ 是偶数，所以现在只需要保证 $\frac{b}{2}$ 是偶数

所以问题转换为了，有 $n$ 个点，任意两个点之间的边权为 $gcd(dx,dy)/2$，现在要求满足条件的三元环个数，需要满足三条边权为：

1. 奇数、奇数、偶数
2. 偶数、偶数、偶数

然后到这里就尬住了，比赛时以为是什么典中典的三元环计数问题，就下班了

第二天看了题解发现，边权和坐标有着密切的联系，又因为每个点的坐标都是偶数，所以我们不妨一开始就将坐标除以二

然后我们就很神奇的发现，一共就只有四类点了，分别是 $x$ 和 $y$ 分别取 $0$ 或 $1$ 的时候。这是点权，边权的话当且仅当 $x1==x2$ and $y1==y2$ 时，原先点的 $\gcd$ 才是偶数，其他情况都是奇数

从头开始再推一遍，发现我们之前的得到的结论没有变！所以 $n^3$ 去枚举计数就好了

你说 $n=6000$？不不，现在的 $n$ 实质上只有 $4$ 种情况，用组合数学统计一下答案就好了

代码：

// Problem: F1. Gregor and the Odd Cows (Easy)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #736 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1549/problem/F1
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 6000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
LL cnt[2][2];
LL C(int n,int m) {
	if(m==1) {
		return n;
	} else if(m==2) {
		return 1LL*n*(n-1)/2;
	} else if(m==3) {
		return 1LL*n*(n-1)*(n-2)/6;
	}
}
int cal(int x1,int y1,int x2,int y2) {
	if(x1==x2&&y1==y2) {
		return true;
	} else {
		return false;
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x,y;
		read(x),read(y);
		cnt[x%4/2][y%4/2]++;
	}
	LL ans=0;
	for(int s1=0;s1<4;s1++) {
		for(int s2=s1;s2<4;s2++) {
			for(int s3=s2;s3<4;s3++) {
				int x1=s1/2,y1=s1%2;
				int x2=s2/2,y2=s2%2;
				int x3=s3/2,y3=s3%2;
				int even=0;
				//2odds + 1even or 3 even
				even+=cal(x1,y1,x2,y2);
				even+=cal(x1,y1,x3,y3);
				even+=cal(x2,y2,x3,y3);
				if(even==2||even==0) {
					continue;
				}
				if(s1==s2&&s2==s3) {
					ans+=C(cnt[x1][y1],3);
				} else if(s1==s2) {
					ans+=C(cnt[x1][y1],2)*cnt[x3][y3];
				} else if(s2==s3) {
					ans+=C(cnt[x2][y2],2)*cnt[x1][y1];
				} else if(s1==s3) {
					ans+=C(cnt[x1][y1],2)*cnt[x2][y2];
				} else {
					ans+=cnt[x1][y1]*cnt[x2][y2]*cnt[x3][y3];
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}