2021-08-03SDUT 2021 Summer Individual Contest - 4(for 20)(补题)

Posted 2021-08-31 佐鼬Jun

C - Fear Factoring

题意： 求F(x)定义为，x的约数和。求${\sum }_{i=a}^{b}f(i)$
思路： 枚举1到n的所有约数,会发现，所有因子的$i$出现次数就是 $\frac{n}{i}$,那么因子$i$对答案的贡献就是⌊$\frac{n}{i}$⌋$\ast i$
举例来说， 1到10的所有约数和，会发现有10个1，5个2，3个3，2个4，2个5，1个6，1个7，1个8，1个9，1个10，但这样枚举一定会超时，数据太大，要优化时间复杂度。
可以发现4到5的个数一样，6到10的个数一样，总会有区间$[L,R]$的数的个数是一样的，所以我们可以直接利用等差数列求和求这段$[L,R]$的和，并乘上对应的个数，这样就不用一一枚举因子。
区间的$L$可以直接就是上一个区间的$R^{\prime }$$+1$，就是当前区间$L$
区间的$R$是$n/(n/L)$，$\lfloor n/L\rfloor$求的是因子L出现的次数，再用n/⌊n/L⌋,求得就是出现这个次数的因子当中最大的那个，因为⌊n/L⌋是向下取整，理论上$n/R$和$n/L$,不是同一个数，但因为向下取整变成了同一个数，我们定义了R为出现当前次数最右端的因子(最大)，所以如果R如果加上1，变成$R+1$,$n/(R+1)$，次数一定不是当前值，所以用n除以当前次数，算出来的就是$R$
剩下的话，次数有了，$[L，R]$，有了，直接等差数列求和即可
举例的话，就像$\lfloor 10/6\rfloor$和$\lfloor 10/10\rfloor$是一样的，向下取整相当于把分母凑了个最大数。
注意：要开unsigned long long，否则会wa
这是除法分块的内容，算是记个小笔记

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll unsigned long long
ll F(ll n) {
    ll res = 0;
    for (ll L = 1, R; L <= n; L = R + 1) {
        R = n / (n / L);
        res += (n / L) * (L + R) * (R - L + 1) / 2;
    }
    return res;
}
int main() {
    ll a, b;
    cin >> a >> b;
    ll res = F(b) - F(a - 1);
    cout << res << endl;
}

To be continued
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