MATLAB模拟退火算法（SA）求解TSP问题

Posted 2021-08-31 桃陉

目录

• • 1. SA概述
  • • 1.1 SA介绍
    • 1.2 SA核心
    • • 1.2.1 三个函数
      • 1.2.2 两个准则
    • 1.3 SA优缺点
    • • 1.3.1 优点
      • 1.3.2 缺点
  • 2. 基于SA解决TSP问题
  • • 2.1 tsp.m
    • 2.2 CalDist.m
    • 2.3 drawTSP.m
    • 2.4 simulated_annealing.m
    • 2.5 结果

1. SA概述

1.1 SA介绍

SA的提出：模拟退火算法最早的思想由Metropolies等（1953）提出，1983年Kirkpatrick等将其应用于组合优化。

SA的目的：
$\bullet$ 解决NP复杂性问题；
$\bullet$ 克服优化过程陷入局部最优；
$\bullet$ 克服初值依赖性。

SA的思路：

模拟自然界退火现象，从某一温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在解空间中随机寻找全局最优解。

1.2 SA核心

1.2.1 三个函数

$\bullet$ 生成新状态 $s_j=Genete(s)$

$\bullet$ 当前状态不符合，但是在一定概率内可以接受 $ifmin\left\{1,e^{\frac{-C(s_j)-C(s)}{t_k}}\right\}\ge randrom[0,1],s=s_j$

$\bullet$ 更新温度 $t_{k+1}=update(t_k)$

1.2.2 两个准则

$\bullet$ 抽样稳定准则（内循环终止准则）：

$\bullet$ 检验目标函数的均值是否稳定
$\bullet$ 连续若干步的目标值变化较小
$\bullet$ 按一定的步数抽样

$\bullet$ 算法终止准则（外循环终止准则）：

$\bullet$ 零度法：由于模拟退火算法最终温度为零，因此，可以给定一个较小的正数，当温度小于这个数时，算法停止。

---

$\bullet$ 循环总数控制法：总的下降次数为一定值K，当温度迭代次数达到K值时，停止运算。

---

$\bullet$ 基于不改进规则的控制法：在一个温度和给定的迭代次数内没有改进当前的局部最优解，则停止运算。

---

$\bullet$ 接受概率控制法：给定一个数$P>0$是一个比较小的数。除当前局部最优解以外，其他状态的接受概率都小于P时，停止计算。

1.3 SA优缺点

1.3.1 优点

$\bullet$ 质量高

$\bullet$ 初值鲁棒性强

$\bullet$ 简单、通用、易实现

1.3.2 缺点

由于算法要求较高的初始温度、较慢的降温速率、较低的终止温度、以及各温度下足够多次的抽样，因此优化过程较长。

---

2. 基于SA解决TSP问题

2.1 tsp.m

生成城市坐标与距离矩阵。这里我们写好了10、30、48、50、75个城市个数的坐标，调用的时候直接计算距离就好了。

注意当城市个数多的话最好不要随机生成坐标，那样的话会使城市分布很均匀，很难进行优化。而且可能会产生重复的坐标点。

function [DLn,cityn]=tsp(n)
%输入参数n为城市个数，返回参数DLn为n×n的距离矩阵，cityn为n×2的城市坐标矩阵

if n==10
    city10=[0.4 0.4439;0.2439 0.1463;0.1707 0.2293;0.2293 0.761;0.5171 0.9414;
        0.8732 0.6536;0.6878 0.5219;0.8488 0.3609;0.6683 0.2536;0.6195 0.2634];%10 cities d'=2.691
    for i=1:10
        for j=1:10
            DL10(i,j)=((city10(i,1)-city10(j,1))^2+(city10(i,2)-city10(j,2))^2)^0.5;
        end
    end
    DLn=DL10;
    cityn=city10;
end

if n==30
    city30=[41 94;37 84;54 67;25 62;7 64;2 99;68 58;71 44;54 62;83 69;64 60;18 54;22 60;
        83 46;91 38;25 38;24 42;58 69;71 71;74 78;87 76;18 40;13 40;82 7;62 32;58 35;45 21;41 26;44 35;4 50];%30 cities d'=423.741 by D B Fogel
    for i=1:30
        for j=1:30
            DL30(i,j)=((city30(i,1)-city30(j,1))^2+(city30(i,2)-city30(j,2))^2)^0.5;
        end
    end
    DLn=DL30;
    cityn=city30;
end

if n==48
    city48=[6734 1453;2233 10;5530 1424;401 841;3082 1644;7608 4458;7573 3716;7265 1268;6898 1885;
        1112 2049;5468 2606;5989 2873;4706 2674;4612 2035;6347 2683;6107 669;7611 5184;7462 3590;7732 4723;
        5900 3561;4483 3369;6101 1110;5199 2182;1633 2809;4307 2322;675 6;7555 4819;7541 3981;3177 756;7352 4506;
        7545 2801;3245 3305;6426 3173;4608 1198;23 2216;7248 3779;7762 4595;7392 2244;3484 2829;6271 2135;4985 140;
        1916 1569;7280 4899;7509 3239;10 2676;6807 2993;5185 3258;3023 1942;];%48cities d'=  by att48
    for i=1:48
        for j=1:48
            DL48(i,j)=((city48(i,1)-city48(j,1))^2+(city48(i,2)-city48(j,2))^2)^0.5;
        end
    end
    DLn=DL48;
    cityn=city48;
end

if n==50
    city50=[31 32;32 39;40 30;37 69;27 68;37 52;38 46;31 62;30 48;21 47;25 55;16 57;
        17 63;42 41;17 33;25 32;5 64;8 52;12 42;7 38;5 25; 10 77;45 35;42 57;32 22;
        27 23;56 37;52 41;49 49;58 48;57 58;39 10;46 10;59 15;51 21;48 28;52 33;
        58 27;61 33;62 63;20 26;5 6;13 13;21 10;30 15;36 16;62 42;63 69;52 64;43 67];%50 cities d'=427.855 by D B Fogel
    for i=1:50
        for j=1:50
            DL50(i,j)=((city50(i,1)-city50(j,1))^2+(city50(i,2)-city50(j,2))^2)^0.5;
        end
    end
    DLn=DL50;
    cityn=city50;
end

if n==75
    city75=[48 21;52 26;55 50;50 50;41 46;51 42;55 45;38 33;33 34;45 35;40 37;50 30;
        55 34;54 38;26 13;15 5;21 48;29 39;33 44;15 19;16 19;12 17;50 40;22 53;21 36;
        20 30;26 29;40 20;36 26;62 48;67 41;62 35;65 27;62 24;55 20;35 51;30 50;
        45 42;21 45;36 6;6 25;11 28;26 59;30 60;22 22;27 24;30 20;35 16;54 10;50 15;
        44 13;35 60;40 60;40 66;31 76;47 66;50 70;57 72;55 65;2 38;7 43;9 56;15 56;
        10 70;17 64;55 57;62 57;70 64;64 4;59 5;50 4;60 15;66 14;66 8;43 26];%75 cities d'=549.18 by D B Fogel
    for i=1:75
        for j=1:75
            DL75(i,j)=((city75(i,1)-city75(j,1))^2+(city75(i,2)-city75(j,2))^2)^0.5;
        end
    end
    DLn=DL75;
    cityn=city75;
end

2.2 CalDist.m

计算该种排序情况下的距离总长度

function F=CalDist(dislist,s)
%计算总长度，dislist为距离矩阵，s为城市排序序列，F为距离总长度

DistanV=0;
n=size(s,2);
for i=1:(n-1)
    DistanV=DistanV+dislist(s(i),s(i+1));
end
DistanV=DistanV+dislist(s(n),s(1));
F=DistanV;

2.3 drawTSP.m

绘制行走路线

function m=drawTSP(Clist,BSF,bsf,p,f)
%Clist为n个城市坐标，BSF为n个城市序列，bsf为总距离，p用来记录第几步搜索
CityNum=size(Clist,1);
for i=1:CityNum-1
    plot([Clist(BSF(i),1),Clist(BSF(i+1),1)],[Clist(BSF(i),2),Clist(BSF(i+1),2)],'ms-','LineWidth',2,'
以上是关于MATLAB模拟退火算法（SA）求解TSP问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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