时间复杂度和空间复杂度

Posted 2021-08-31 小倪同学 -_-

文章目录

• 一.算法效率
• • 如何衡量一个算法的好坏
  • 算法的复杂度
• 时间复杂度
• • 大O的渐进表示发法
  • 常见时间复杂度计算举例
• 空间复杂度
• 常见的复杂度对比

一.算法效率

如何衡量一个算法的好坏

对于如下斐波那契数列，它的代码十分简洁，但简洁一定好吗？当我们运算时会发现，该代码进行了大量重复运算，导致其效率低下。那么如何衡量一个算法的好坏呢？

int Fib(int n)
{
	if (n < 3)
		return 1;
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度比较在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注算法的空间复杂度。

时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗 ? 是可以上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，所以算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

即找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

例
计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N; ++j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

大O的渐进表示发法

1. 用常数１取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高项。
3. 如果最高阶项存在且系数不是１，则去除与这个项相乘的系数，得到的结果就是大O阶。

对于上面的Func1函数，使用大O的渐近表示法后，时间复杂度为O(N^2)

另外有些算法的时间复杂度存在最好，平均和最坏情况:

• 最坏情况 : 任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况 : 任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况 : 任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据X

• 最好情况：1次找到
• 最坏情况：N次找到
• 平均情况；N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

常见时间复杂度计算举例

例1

void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

Func2时间复杂度为F(N)=2*n+1
利用大O的渐近取最高项，去除最高项系数得F(N)=O(N).

例2

void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\\n", count);
}

操作执行了M+N次;有两个未末知数M和N,时间复杂度为O(N+M)

例3

void Func4(int N) 
{
 	int count = 0;
 	for (int k = 0; k < 100; ++k)
 	{
 		++count;
 	}
	 printf("%d\\n", count);
 }

操作执行了10次，通过推导大0阶方法，时间复杂度为0(1)

例4

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

BubbleSort操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，
通过推导大0阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为O(N^2)

例5

int BinarySearch(int* a, int n, int x) 
{
	assert(a);
 	int begin = 0;
 	int end = n-1;
 	while (begin < end)
 	{
 		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
 		if (a[mid] < x)
 			begin = mid+1;
 		else if (a[mid] > x)
 			end = mid;
 		else
 			return mid;
 	}
 	return -1;
}

操作执行最好1次，最坏O(logN)次， 时间复杂度为0(logN)

注意: logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成IgN。

例6

long long Fac(size_t N) 
{
	if(1 == N)
 		return 1;
 	return Fac(N-1)*N; 
}

通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

例7

long long Fib(size_t N) 
{
 	if(N < 3)
 		return 1;
 	return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大o渐进表示法。

注意 : 函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，
因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。

下面做几道练习帮助我们熟悉空间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n) 
{
	assert(a);
 	for (size_t end = n; end > 0; --end)
 	{
 		int exchange = 0;
 		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
 		{
 			if (a[i-1] > a[i])
 			{
	 			Swap(&a[i-1], &a[i]);
 				exchange = 1;
 			}
 		}
 		if (exchange == 0)
 		break;
 	}
}	

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为0(1)

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long * fibArray = (long long *)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

动态开辟了N个空间，空间复杂度为O(N)

long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 1)
		return 1;
	return Fac(N - 1)*N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

常见的复杂度对比