LeetCode 62. 不同路径

Posted 2021-08-31 ZSYL

LeetCode 62. 不同路径

• 题目描述
• 方法一：深度优先搜索
• 方法二：动态规划
• • 空间复杂度: O(mn)
  • 空间复杂度: O(2n)
  • 空间复杂度: O(n)
• 方法三：组合数学

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

方法一：深度优先搜索

时间超限

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        return dfs(1, 1, m, n);
    }
    public int dfs(int x, int y, int m, int n) {
        int ret = 0;
        if (x == m && y == n)
            return 1;
        if (x+1 <= m)
            ret += dfs(x+1, y, m, n);
        if (y+1 <= n)
            ret += dfs(x, y+1, m, n);
        return ret;
    }
}

方法二：动态规划

思路与算法

我们用 f(i,j) 表示从左上角走到 (i,j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0,m) 和 [0,n)。

推导式：f(i,j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i−1,j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i,j−1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i−1,j) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j−1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m−1,n−1)。

细节:

为了方便代码编写，我们可以将所有的 f(0,j) 以及 f(i,0) 都设置为边界条件，它们的值均为 1。

空间复杂度: O(mn)

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; ++i) {
            for (int j = 1; j < n; ++j) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)。

• 空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i,j) 仅与第 i 行和第 i−1 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。

空间复杂度: O(2n)

Java：

pre[]：始终代表上一行的 n 列数据

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] pre = new int[n];
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(pre, 1);
        Arrays.fill(cur,1);
        for (int i = 1; i < m;i++){
            for (int j = 1; j < n; j++){
                cur[j] = cur[j-1] + pre[j];
            }
            pre = cur.clone();
        }
        return pre[n-1]; 
    }
}

Python:

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        pre = [1] * n
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] = pre[j] + cur[j-1]
            pre = cur[:]  # 获取全部
        return pre[-1]

类似于 dp[2][n]，一样的优化效果!

空间复杂度: O(n)

优化：

Java：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] cur = new int[n];
        Arrays.fill(cur, 1);
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                cur[j] += cur[j-1];
            }
        }
        return cur[n-1];
    }
}

Python：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        cur = [1] * n
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                cur[j] += cur[j-1]
        return cur[-1]  # 返回最后一个数据

方法三：组合数学

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        long ans = 1;
        for (int x = n, y = 1; y < m; ++x, ++y) {
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }
}

Python：

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        return comb(m + n - 2, n - 1)

复杂度分析

• 时间复杂度：O(m)。由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。

• 空间复杂度：O(1)。