子序列（混合递推+前缀和 || 分块）

Posted 2021-08-31 jpphy0

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• 混合递推+前缀和
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问题

• 序列 $a_1，a_2，\cdots ，a_n$，求子序列中长度大于1的传奇序列的个数。$1\le n\le 3\ast 10^5,0\le a_i<2^{18}$，结果对100000007取余。
• 若序列 $b_1，b_2，\cdots ，b_k$ 满足 $b_i\&b_j=b_j且i<j$ ，则称为传奇序列。

分析

• 遍历子序列的一般方式：将子序列按结尾元素分成子空间，子空间数量 $O(n)$；
• $\&$ 运算性质
  • $a\&b=b$，例如：$a=11101010，b=11000010$
  • 若 $a\&b=b，b\&c=c$，那么 $a\&c=c$
  • 小于 $a$ 的最大 $b=(a-1)\&a$，递推式 $b_{i+1}=(b_i-1)\&a(b_i>b_{i+1})$
  • 大于 $b$ 的最小 $a=(b+1)\Vert a$，递推式 $a_{i+1}=(a_i+1)\Vert a(a_i<a_{i+1})$

暴力枚举

分析

• 设 $f[i]$ 是以元素 $a_i$ 结尾的的满足条件的子序列的数量（元素下标：$i$ ）
• 设 $g[a]$ 是以元素 $a$ 结尾的的满足条件的子序列的数量（元素值：$a$ ）
• 则递推过程
  • 到哪里去？
    • $g[a]$ 定义：能与值为 $a$ 的元素构成传奇序列的子序列数量
    • $f[i]=g[a_i]+1$
    • $g[a_j]=g[a_j]+f[i]$，其中 j ∈ { i ， i + k 1 ， i + k 2 ， ⋯   } ， a i    &    a j = a j j \\in \\{i，i+k_1，i+k_2，\\cdots \\}，a_i \\;\\&\\;a_j=a_j j∈{i，i+k1​，i+k2​，⋯}，ai​&aj​=aj​，复杂度$O(n)$
    • 可优化：序列的后续元素中可能不出现值为 $a_j$ 的元素，能延迟或不操作更佳；依据查询的“组合”策略，进行组合内修改
  • 从哪里来?
    • $g[a]$ 定义：尾元素值为 $a$ 的传奇数列数量
    • $f[i]={\sum }_{k}g[a_k]$，其中 $1\le k\le i-1，a_k\&a_i=a_i$，复杂度$O(n)$
    • g [ a i ] = g [ a i ] + f [ i ] g[a_i] = g[a_i] +f[i] g[ai​]=g[aP4192 旅行规划(分块+凸包)

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