2021牛客多校5 - Double Strings(dp+组合数学)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了2021牛客多校5 - Double Strings(dp+组合数学)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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题目大意:给出两个字符串 s s s t t t,要求 “一段相同的前缀” + “一个不同的字符(满足s[i]<t[j])”+ “长度相同的任意后缀” 的组成方案数,其中可以选取 s s s t t t 的子序列用于构成

题目分析:类比于最长公共子序列,这里将 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 定义为,由字符串 s [ 1 : i ] s[1:i] s[1:i] t [ 1 : j ] t[1:j] t[1:j] 组成的相同前缀的个数,其实也就是方案数,转移的话 d p [ i ] [ j ] = d p [ i − 1 ] [ j ] + d p [ i ] [ j − 1 ] − d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1] dp[i][j]=dp[i1][j]+dp[i][j1]dp[i1][j1],当 s [ i ] = t [ j ] s[i]=t[j] s[i]=t[j] 时还要加上 d p [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 dp[i-1][j-1]+1 dp[i1][j1]+1,这些类比于 l c s lcs lcs 的求解过程很容易想到

这个题的瓶颈就是如何去求 “长度相同的任意后缀”,假设 l a s t [ x ] [ y ] last[x][y] last[x][y] 的意义是,长度为 x x x 的字符串和长度为 y y y 的字符串,组成 “长度相同的任意后缀” 的方案数。不妨设 x < = y x<=y x<=y,那么按照长度枚举展开就是 C ( x , 1 ) ∗ C ( y , 1 ) + C ( x , 2 ) ∗ C ( y , 2 ) + . . . + C ( x , x ) ∗ C ( y , x ) = ∑ k = 1 x C ( x , k ) ∗ C ( y , k ) C(x,1)*C(y,1)+C(x,2)*C(y,2)+...+C(x,x)*C(y,x)=\\sum\\limits_{k=1}^{x}C(x,k)*C(y,k) C(x,1)C(y,1)+C(x,2)C(y,2)+...+C(x,x)C(y,x)=k=1xC(x,k)C(y,k),这里根据 C ( n , m ) = C ( n , n − m ) C(n,m)=C(n,n-m) C(n,m)=C(n,nm) 做一下转换,即 ∑ k = 1 x C ( x , k ) ∗ C ( y , k ) = ∑ k = 1 x C ( x , x − k ) ∗ C ( y , k ) \\sum\\limits_{k=1}^{x}C(x,k)*C(y,k)=\\sum\\limits_{k=1}^{x}C(x,x-k)*C(y,k) k=1xC(x,k)C(y,k)=k=1xC(x,xk)C(y,k),根据范德蒙德卷积公式推得原式等于 C ( x + y , x ) C(x+y,x) C(x+y,x)

如此一来,预处理出上述的 d p dp dp l a s t last last 数组,就可以去枚举中间的断点,也就是 “一个不同的字符(满足s[i]<t[j])” ,然后根据乘法原理计算贡献了

代码:

// Problem: Double Strings
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11256/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e3+100;
const int M=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
char s[N],t[N];
int dp[N][N];
int fac[M],inv[M];
int q_pow(int a,int b) {
	int ans=1;
	while(b) {
		if(b&1) {
			ans=1LL*ans*a%mod;
		}
		a=1LL*a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int C(int n,int m) {
	if(n<m) {
		return 0;
	}
	return 1LL*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void init() {
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<M;i++) {
		fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	}
	inv[M-1]=q_pow(fac[M-1],mod-2);
	for(int i=M-2;i>=0;i--) {
		inv[i]=1LL*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	scanf("%s%s",s+1,t+1);
	int n=strlen(s+1),m=strlen(t+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1])%mod;
			if(s[i]==t[j]) {
				dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-1]+1)%mod;
			}
			dp[i][j]=(dp[i][j]+mod)%mod;
		}
	}
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(s[i]<t[j]) {
				ans=(ans+1LL*(dp[i-1][j-1]+1)*C(n-i+m-j,n-i))%mod;
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

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