CodeForces - 817D Imbalanced Array(单调栈)

Posted 2021-08-30 Frozen_Guardian

题目链接：点击查看

题目大意：给出一个长度为 $n$ 的序列，求出所有子区间的最大值与最小值之差的和

题目分析：不难看出最大值和最小值之差的和可以拆开，拆成最大值之和与最小值之和之差，现在问题转换为如何求解所有子区间内的最值之和

可以单调栈维护每个数字的可行范围，这里以最小值为例，当我们遍历到 $i$ 位置时，我们只需要求出左侧首次小于 $a[i]$ 的位置 $l$，以及右侧首次小于 $a[i]$ 的位置 $r$，那么 $a[i]$ 的贡献就是：左端点属于区间 $[l,i]$，同时右端点属于区间 $[i,r]$ 的子区间了。

但是上述做法只适用于 $n$ 个数字互不相同，如果遇到重复的数字会重复计算答案。

该怎么解决呢？其实仔细思考一下不难发现，可以令区间变成左闭右开或左开右闭，换句话说我们只需要让 $l$ 变成左侧首个小于等于 $a[i]$ 的位置或者让 $r$ 变成右侧首个小于等于 $a[i]$ 的位置就好了

具体证明可以口胡一下，对于一段连续数列 { 2 , 2 , 2 } \\{2,2,2\\} {2,2,2} 来说，如果 $l$ 表示的是左侧首个小于 $a[i]$ 的位置，$r$ 表示的是右侧首个小于等于 $a[i]$ 的位置，那么得到的三个开区间就是 $(0,2),(0,3),(0,4)$，发现确实是覆盖了所有的区间

代码：

// Problem: J - Imbalanced Array
// Contest: Virtual Judge - 7.31限时训练（生成树，树的直径，单调栈）2
// URL: https://vjudge.net/contest/450440#problem/J
// Memory Limit: 262 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
int l[N],r[N];
LL a[N];
stack<int>st;
void init() {
	while(st.size()) {
		st.pop();
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	LL ans=0;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(a[i]);
	}
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(st.size()&&a[st.top()]<=a[i]) st.pop();
		if(st.empty()) l[i]=0;
		else l[i]=st.top();
		st.push(i);
	}
	init();
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		while(st.size()&&a[st.top()]<a[i]) st.pop();
		if(st.empty()) r[i]=n+1;
		else r[i]=st.top();
		st.push(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans+=a[i]*(r[i]-i)*(i-l[i]);
	}
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		while(st.size()&&a[st.top()]>=a[i]) st.pop();
		if(st.empty()) l[i]=0;
		else l[i]=st.top();
		st.push(i);
	}
	init();
	for(int i=n;i>=1;i--) {
		while(st.size()&&a[st.top()]>a[i]) st.pop();
		if(st.empty()) r[i]=n+1;
		else r[i]=st.top();
		st.push(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans-=a[i]*(r[i]-i)*(i-l[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}