USACO08MAR土地购买 与 APIO2010特别行动队

Posted 2020-09-06 Der Barde, Nietzsche

两道斜率优化DP；

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土地购买

约翰准备扩大他的农场，眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地，价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地，并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地，他只需要支付5 × 5 = 25元， 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现，将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸，请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

　　　　　　　　　　　　--by luogu

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排除不贡献答案的土地；

即把x,y都比某土地小的土地删除——无论怎么分，把她与这块大的分在一起就好了；

方法，把x递增排序，然后维护y的单调减队列；

这样以后，得方程：

f[i]=min{y[j+1]*x[i]+f[j]}

取b=f[j];k=y[j+1];

斜率优化即可；

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define ll long long
 4 using namespace std;
 5 int n;
 6 struct ss{
 7     int x,y;
 8 };
 9 ss a[500010],b[500010];
10 ll f[500010];
11 int que[500010],h,t;
12 bool cmp1(ss i,ss j){
13     return i.x<j.x;
14 }
15 ll Y(int ,int );
16 ll K(int );
17 ll B(int );
18 int cmp(int ,int ,int );
19 int main()
20 {
21     int i,k,cnt=0;
22     long long x,j;
23     h=0;t=0;
24     scanf("%d",&n);
25     for(i=1;i<=n;i++)
26         scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
27     sort(a+1,a+n+1,cmp1);
28     for(i=1;i<=n;i++){
29         while(cnt&&a[i].y>=b[cnt].y)cnt--;
30             b[++cnt]=a[i];
31         }
32     for(i=1;i<=cnt;i++){
33         while(h<t&&Y(i,que[h])>=Y(i,que[h+1]))h++;
34         f[i]=(ll)Y(i,que[h]);
35         while(h<t&&cmp(i,que[t],que[t-1]))
36             t--;
37         que[++t]=i;
38     }
39     printf("%lld\\n",f[cnt]);
40     return 0;
41 }
42 ll Y(int i,int j){
43     return (ll)b[j+1].y*b[i].x+f[j];
44 }
45 ll K(int j){
46     return b[j+1].y;
47 }
48 ll B(int j){
49     return f[j];
50 }
51 int cmp(int x1,int p,int x3){
52     long long k1=K(x1),k2=K(p),k3=K(x3),b1=B(x1),b2=B(p),b3=B(x3);
53     ll w1=(k1-k3)*(b2-b1);
54     ll w2=(k1-k2)*(b3-b1);
55     return w1<=w2;
56 }

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特别行动队

你有一支由 n 名预备役士兵组成的部队，士兵从 1 到 n 编号，要将他们拆分 成若干特别行动队调入战场。出于默契的考虑，同一支特别行动队中队员的编号 应该连续，即为形如的序列。 编号为 i 的士兵的初始战斗力为 xi ，一支特别行动队的初始战斗力 x 为队内 士兵初始战斗力之和，即 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力 x 将按如下经验公 式修正为 ，其中 a, b, c 是已知的系数（a < 0）。 作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后 战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有 4 名士兵， 。经验公式中的参数为 a = –1, b = 10, c = –20。此时，最佳方案是将士兵组成 3 个特别行动队：第一队包含士兵 1 和士兵 2，第二队包含士兵 3，第三队包含士兵 4。特别行动队的初始战斗力分 别为 4, 3, 4，修正后的战斗力分别为 4, 1, 4。修正后的战斗力和为 9，没有其它 方案能使修正后的战斗力和更大。

　　　　　　　　--by luogu

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方程：

f[i]=max{ f[j]+a*(s[i]-s[j])²+b*(s[i]-s[j])+c }

f[i]=max{f[j]+a*s[i]²-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²+b*s[i]-b*s[j]+c}

f[i]=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]}+a*s[i]²+b*s[i]+c

max之外的不随j变化：

于是：

设f[i]=y+a*s[i]²+b*s[i]+c;

y=max{f[j]-2*a*s[i]*s[j]+a*s[j]²-b*s[j]}；

y=max{-2*a*s[j]*s[i]+a*s[j]²-b*s[j]+f[j]}；

取k=-2*a*s[j],b=a*s[j]²-b*s[j]+f[j];

斜率优化即可；

代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #define ll long long
 3 using namespace std;
 4 ll a,b,c;
 5 int n;
 6 ll s[1000010];
 7 ll f[1000010];
 8 int que[1000010],h,t;
 9 inline ll Y(int ,int );
10 inline ll K(int );
11 inline ll B(int );
12 inline int cmp(int ,int ,int );
13 int main()
14 {
15     int i,k;
16     long long x,j;
17     h=0;t=0;
18     scanf("%d",&n);
19     scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
20     for(i=1;i<=n;i++)
21         scanf("%lld",&j),s[i]=s[i-1]+j;
22     for(i=1;i<=n;i++){
23         while(h<t&&Y(i,que[h])<=Y(i,que[h+1]))h++;
24         f[i]=(ll)Y(i,que[h])+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
25         while(h<t&&cmp(i,que[t],que[t-1]))
26             t--;
27         que[++t]=i;
28     }
29     printf("%lld\\n",f[n]);
30     return 0;
31 }
32 inline ll Y(int i,int j){
33     return (ll)K(j)*s[i]+B(j);
34 }
35 inline ll K(int j){
36     return (ll)-2*a*s[j];
37 }
38 inline ll B(int j){
39     return (ll)f[j]+a*s[j]*s[j]-b*s[j];
40 }
41 inline int cmp(int x1,int p,int x3){
42     return ((ll)(K(x1)-K(p))*(B(x3)-B(x1)))>=((ll)(B(p)-B(x1))*(K(x1)-K(x3)));
43 }

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祝AC；