⭐算法入门⭐《动态规划 - 路径DP》中等01 —— LeetCode 62. 不同路径

Posted 2021-08-30 英雄哪里出来

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文章目录

• 一、题目
• • 1、题目描述
  • 2、基础框架
  • 3、原题链接
• 二、解题报告
• • 1、思路分析
  • 2、时间复杂度
  • 3、代码详解
• 三、本题小知识

一、题目

1、题目描述

  一个机器人位于一个 $m\times n$ 网格的左上角。机器人每次只能 向下 或者 向右 移动一步。机器人试图达到网格的右下角。问总共有多少条不同的路径？
  样例输入： $m=3,n=2$
  样例输出： $3$

2、基础框架

• c++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
    }
};

3、原题链接

LeetCode 62. 不同路径

二、解题报告

1、思路分析

• 你在 $(1,1)$ 的位置，通过向右，或者向下，要走到 $(m,n)$ 位置的方案数。
• 当 $m=1$ 时，表示只能往右走，所以 $(1,i)$ $(i\in [1,n])$ 的方案数就是 1。
• 当 $n=1$ 时，表示只能往下走，所以 $(i,1)$ $(i\in [1,m])$ 的方案数就是 1。
• 抛开这两种情况不管，$(i,j)$ 这个位置，一定是从 $(i-1,j)$ 或者 $(i,j-1)$ 过来的，于是，我们令 $f(i,j)$ 代表从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的方案数，则有：
• $$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1)$$
• 于是 $f(m,n)$ 就可以通过两层循环，递推计算出来了。

2、时间复杂度

• 状态数：$O(nm)$
• 状态转移：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(nm)$

3、代码详解

class Solution {
    int f[110][110];                             // (1)
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            f[1][i] = 1;                         // (2)
        }
        for(int i = 1; i <= m; ++i) {
            f[i][1] = 1;                         // (3)
        }

        for(int i = 2; i <= m; ++i) {
            for(int j = 2; j <= n; ++j) {
                f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]; // (4)
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};

• $(1)$ $f[i][j]$ 代表从 $(1,1)$ 到 $(i,j)$ 的方案数；
• $(2)$ 初始化列数为 1 的情况；
• $(3)$ 初始化行数为 1 的情况；
• $(4)$ 利用二维递推进行求解；

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三、本题小知识

动态规划最重要的就是想清楚状态转移方程，然后再考虑边界情况，计算出最终结果。

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