⭐算法入门⭐《动态规划 - 串匹配》困难02 —— LeetCode 72. 编辑距离

Posted 2021-08-30 英雄哪里出来

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了⭐算法入门⭐《动态规划 - 串匹配》困难02 —— LeetCode 72. 编辑距离相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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文章目录

一、题目
二、解题报告
三、本题小知识

一、题目

1、题目描述

给定两个长度不超过 500 的单词 $A$ 和 $B$ ，请计算出将 $A$ 转换成 $B$ 所使用的最少操作数。可以对一个单词进行如下三种操作：
1）插入一个字符；
2）删除一个字符；
3）替换一个字符；

样例输入： A = "intentiona"、B = "executiona"
样例输出： 5。

2、基础框架

c++ 版本给出的基础框架代码如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
    }
};

word1就是源串 A；
word2就是目标串 B；

3、原题链接

LeetCode 72. 编辑距离

二、解题报告

1、思路分析

令 $f (i, j)$ 表示 源串前缀 $a_0a_1...a_{i}$ 变成 目标串前缀 $b_0b_1...b_{j}$ 的最小操作数。
令 $I$ 、 $D$ 、 $R$ 分别为插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符的操作数，本题中值均为 1。

1）插入

假设 $a_0a_1...a_{i}$ 变成 $b_0b_1...b_{j-1}$ 的最少操作数已经求出，等于 $f (i, j - 1)$ ，则需要在 $a [i]$ 的后面插入一个字符 $b_j$ ，那么最少操作数为：
$f (i, j - 1) + I$
如图所示，源字符串为 “AGTA”，目标字符串为 “GATCGT” 的情况下，将源字符串变成 "“GATCG” 的最小消耗为 $f (i, j - 1)$ ，那么只要在源字符串最后再插入一个 ‘T’，就可以把源字符串变成目标字符串 “GATCGT”；

2）删除

假设 $a_0a_1...a_{i-1}$ 变成 $b_0b_1...b_{j}$ 的最少操作数已经求出，等于 $f (i - 1, j)$ ，则需要把 $a_i$ 个删掉，那么产生的最少操作数为：
$f (i - 1, j) + D$
如图所示，源字符串为 “AGTA”，目标字符串为 “GATCGT” 的情况下，将 “AGT” 变成目标字符串的最小消耗为 $f (i - 1, j)$ ，那么只要把源字符串最后一个’A’删掉，就可以把源字符串变成目标字符串；

3）替换

假设 $a_0a_1...a_{i-1}$ 变成 $b_0b_1...b_{j-1}$ 的最少消耗已经求出，等于 $f (i - 1, j - 1)$ ，则将 $a_i$ 替换成 $b_j$ ， $a_0,a_1,...,a_{i}$ 就可以变成 $b_0,b_1,...b_{j}$ 。替换时需要考虑 $a_i=b_j$ 和 $a_i \\neq b_j$ 的情况，所以替换产生的最小操作数为：
$\\begin{cases} 0 & a_i=b_j \\\\ R & a_i \\neq b_j\\end{cases}$
如图所示，源字符串为 “AGTA”，目标字符串为 “GATCGT” 的情况下，将 “AGT” 变成 “GATCGT” 的最小操作数为 $f (i - 1, j - 1)$ ，那么只要将源字符串的最后一个字符替换为目标字符串的最后一个字符，就可以把源字符串变成目标字符串；替换时根据源字符串和目标字符串原本是否相等来决定操作数；

4）边界处理

边界情况主要考虑以下几种：

a. 空串变成目标串

即 $f (- 1, j)$ ，总共需要插入 $44. 通配符匹配-动态规划-困难最大回文子串匹配：暴力算法中心拓展法动态规划manacher算法 ⭐算法入门⭐《动态规划 - 状态压缩DP》困难01 —— LeetCode 847. 访问所有节点的最短路径动态规划:leetcode题库第四十四题动态规划——从入门到放弃 ⭐算法入门⭐《动态规划 - 线性DP》简单02 —— LeetCode 53. 最大子序和$