Boxes

Posted 2021-08-30 Jozky86

Boxes

题意：

有n个盒子，每个盒子里要么是黑球，要么是白球，你可以花C的代码得知剩下所有盒子中黑球数量和白球数量，(只是知道总数量，并不知道具体哪个盒子里是什么)，你可以可以花费wi的代价开第i个箱子。问想知道所有盒子里球的情况，花费的最少期望是多少？

题解：

首先这个C最多只用花一次，且第一次花，因为你第一次花完之后，就知道黑白所有的数量，如果你开了箱子，剩下的箱子反推就知道，所以这个C只用花一次。
如果只花一次C，那我们就要考虑剩下的箱子打开情况，按照wi升序排列，我们肯定优先打开花费小的箱子，一直开，直到开到一个后缀全是同色的位置。这样的代价：$C+\sum wi(1-1/(2^{n-i}))$
公式得到过程：
如果我们当前打算开第i个，那么就还有n-i个没开，如果不继续开箱子，说明后面都是同色的，后面同色的概率是$1/2^{n-i}$,如果第i个箱子开，就说明后面不都是同色的，概率就是$1-1/2^{n-i}$,期望就再乘上wi
当然，可以不整那么多虚的，有可能直接打开所有盒子的总花费更优，此时打开所有盒子的概率都是1，总期望就是${\sum }_{i=1}^{n}wi$
两个情况取最小

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(a,b) printf("%s = %d\\n",a,b);
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
//Fe~Jozky
const ll INF_ll=1e18;
const int INF_int=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
   ll s=0,w=1ll;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1ll;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10ll+((ch-'0')*1ll),ch=getchar();//s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48);
   return s*w;
}
void rd_txt(){
	#ifdef ONLINE_JUDGE
	#else
    	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
}
const int maxn=1e5+9;
long double a[maxn];
long double sum[maxn];
long double poww(long double a,ll b){
	long double ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans*=a;
		a*=a;
		b>>=1; 
	}
	return ans;
}
int main()
{
	//rd_txt();
	int n;double c;
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	long double ans=c;
	long double t=1.0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=a[i]*(1.0-1.0/poww(2,n-i));
	}
	ans=min(ans,sum[n]);
	printf("%.8Lf\\n",ans);
	return 0;
}