算法快速选择算法 ( 数组中找第 K 大元素 )

Posted 2021-08-29 韩曙亮

算法 系列博客

【算法】刷题范围建议 和 代码规范
【算法】复杂度理论 ( 时间复杂度 )

【字符串】最长回文子串 ( 蛮力算法 )
【字符串】最长回文子串 ( 中心线枚举算法 )
【字符串】最长回文子串 ( 动态规划算法 ) ★
【字符串】字符串查找 ( 蛮力算法 )
【字符串】字符串查找 ( Rabin-Karp 算法 )

【算法】双指针算法 ( 双指针算法分类 | 相向双指针 | 有效回文串 )
【算法】双指针算法 ( 有效回文串 II )
【算法】哈希表 ( 两数之和 )

【算法】快速排序
【算法】归并排序
【算法】快速排序与归并排序对比
【算法】快速选择算法 ( 数组中找第 K 大元素 )

---

文章目录

• 算法 系列博客
• 一、快速选择算法

一、快速选择算法

---

数组中找第 K 大元素 : https://www.lintcode.com/problem/5/

可以 先进行 快速排序 , 然后找第 k 大的元素 ;

先排序 , 在获取值 , 会消耗 排序的时间复杂度 $O(n\log n)$ ;

使用 快速选择算法 , 可以达到 $O(n)$ 的时间复杂度 ;

快速选择算法 利用了快速排序算法的步骤 , 快速排序的第一个步骤是从数组中 挑选一个元素 p , 依据 p 将数组分为两部分 , 左侧是小于等于 p 的部分 , 右侧是大于等于 p 的部分 ;
上述步骤的时间复杂度是 $O(n)$ ;

分割后 , 左边有 m 个数 , 右边有 n 个数 ;

• 假如 k <= m , 则说明要取的值在左侧 , 右侧就不用进行排序了 ;
• 假如 k > m , 则说明要取的值在右侧 , 左侧就不用排序了 ;

这样 , 要处理的数据规模就缩小了一半 ;

时间复杂度分析 : 通过 $O(n)$ 的时间复杂度 , 进行了第一次分割 , 将数组分为左右两部分 ;

$T(n)=O(n)+T(\frac{n}{2})$
$=O(n)+T(\frac{n}{2})$
$=O(n)+O(\frac{n}{2})+T(\frac{n}{4})$

时间复杂度计算时 , 只考虑最高次项 , 忽略常数 , 忽略系数 ,

最终的时间复杂度是 $O(n)$ ;

因此使用快速选择算法 , 找数组中的第 K 大元素 , 时间复杂度是 $O(n)$ ;

代码示例 :

class Solution {

    /**
     * 快速选择算法
     * 第 K 大元素
     * @param k
     * @param array
     * @return
     */
    public int kthLargestElement(int k, int[] array) {
        if (array == null){
            return -1;
        }

        return quickSelect(array, 0, array.length - 1, k);
    }

    // 在 array 数组中, 从 start 到 end 中找到第 k 大元素
    private int quickSelect(int[] array, int start, int end, int k) {
        if (start == end) {
            // 说明此时找到了第 K 大元素
            return array[start];
        }

        // 左右两个指针及中间元素值
        int left = start, right = end, pivot = array[(start + end) / 2];
        while (left <= right) {
            while (left <= right && array[left] > pivot) {
                // 默认自增, 如果遇到一个元素大于中心值, 则退出循环, 记录该元素索引 left
                left++;
            }
            while (left <= right && array[right] < pivot) {
                // 默认自增, 如果遇到一个元素小于中心值, 则退出循环, 记录该元素索引 right
                right--;
            }
            // 交换两个元素
            if (left <= right) {
                int tmp = array[left];
                array[left] = array[right];
                array[right] = tmp;
                // 交换完毕后, 左指针自增, 右指针自减, 继续向后执行
                left++;
                right--;
            }
        }

        // 分割完成, 此时索引的排列 start right left end , 其中 right 和 left 之间可能还有元素
        // 这里涉及到了 3 部分 , start 到 right 之间, right 到 left 之间, left 到 end 之间
        // right 到 left 之间只可能有 1 个数
        // 判定 k 在哪个部分

        if (start + k - 1 <= right) {
            // 左侧部分 : 第 k 个数在 start 到 right 之间
            return quickSelect(array, start, right, k);
        }

        if (start + k - 1 >= left) {
            // 右侧部分 : 第 k 个数在 left 到 end 之间
            // 左侧有 left - start 个数, 总共 k 个数, 在右边只需要找第 k - (left - start) 个数
            return quickSelect(array, left, end, k - (left - start));
        }

        // 如果上述两种情况都不是, 则是中间部分, right 到 left 之间的一个数, 可以写成 right + 1 或 left - 1
        return array[right + 1];
    }
}