2021牛客多校4 - Rebuild Tree(树形dp)

Posted 2021-08-29 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一棵 $n$ 个节点的树，现在可以删掉 $k$ 条边，然后加上 $k$ 条边，问有多少种方案使得操作后 $n$ 个点仍然是一棵树

题目分析：原树删掉 $k$ 条边后会变成一个具有 $k+1$ 个连通块的森林，设每个连通块的大小依次为 $s[1]...s[k+1]$，考虑 prufer 序列，答案就是 $n^{k-1}\prod _{i=1}^{k}s[i]$。可以这样理解，如果想要将 $k+1$ 个连通块继续加边直到变成一棵树，那么需要构造一个长度为 $k-1$ 的 prufer 序列，每个位置可以取值 $[1,n]$，这样就将最终树的形态确定下来了，我们还需要确定删除的是哪 $k$ 条边，这个可以用每个连通块大小的乘积表示所有情况。

现在问题转换为如何求解 $\prod _{i=1}^{k}s[i]$，考虑转换为等价问题：删掉 $k$ 条边，并且每个连通块内恰好选了一个点的方案数。$dp[i][j][0/1]$ 代表对于子树 $i$，删了 $j$ 条边，点 $i$ 所在的连通块是否已经选择了点的方案数，然后就是树形 dp 了，枚举每条边选择是否删除进行转移

代码：

// Problem: Rebuild Tree
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11255/D
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=5e4+100;
const int mod=998244353;
int n,k,sz[N];
vector<int>node[N];
LL dp[N][110][2],tmp[110][2];
void dfs(int u,int fa) {
	sz[u]=1;
	dp[u][0][0]=dp[u][0][1]=1;//一条边不删只有一种情况
	for(auto v:node[u]) {
		if(v==fa) {
			continue;
		}
		dfs(v,u);
		memset(tmp,0,sizeof(tmp));
		for(int i=0;i<sz[u]&&i<=k;i++) {//u当前子树中删了多少条边
			for(int j=0;j<sz[v]&&i+j<=k;j++) {//v子树中删了多少条边
				//not delete
				tmp[i+j][0]=(tmp[i+j][0]+dp[u][i][0]*dp[v][j][0])%mod;
				tmp[i+j][1]=(tmp[i+j][1]+dp[u][i][0]*dp[v][j][1]+dp[u][i][1]*dp[v][j][0])%mod;
				if(i+j==k) {
					continue;
				}
				//delete (u,v)
				//因为v的子树是独立的，所以删掉(u,v)后，v的子树中必须已经选择了点才行
				tmp[i+j+1][0]=(tmp[i+j+1][0]+dp[u][i][0]*dp[v][j][1])%mod;
				tmp[i+j+1][1]=(tmp[i+j+1][1]+dp[u][i][1]*dp[v][j][1])%mod;
			}
		}
		memcpy(dp[u],tmp,sizeof(tmp));
		sz[u]+=sz[v];
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	read(n),read(k);
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u,v;
		read(u),read(v);
		node[u].push_back(v);
		node[v].push_back(u);
	}
	dfs(1,-1);
	LL ans=dp[1][k][1];
	for(int i=1;i<k;i++) {
		ans=(ans*n)%mod;
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}