其他类型的树1：平衡二叉树和AVL树

Posted 2021-08-29 纵横千里，捭阖四方

平衡二叉树和AVL树，我们主要理解其特点就行了，不需要能写代码。

AVL树用的也不多，热度也不如堆、B+树、红黑树这些，但是掌握平衡树有助于我们理解其他的树。

有个地址很好的演示了AVL树的结构特征

http://en.wikipedia.org/wiki/Self-balancing_binary_search_tree

1.平衡二叉树的概念和意义

平衡二叉树（Balanced Binary Tree或Height-Balanced Tree）又称AVL树。它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。若将二叉树上结点的平衡因子bf(balance factor)定义为该结点的左子树的深度减去右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能为-1、0和1这三个值。

任何概念提出来都是为了解决某个问题的，为什么会有平衡二叉树呢？先看下面的图

 下图中b和c两个图查找，最坏情况都需要访问全部元素才能确定是否存在，也就是访问的时间复杂度为O(n)，这与线性查找是一样的，失去了二分的意义，所以当树的整体或者部分的左右分支深度差异大的时候，我们要采取措施让两边尽量公平一些。

2.什么时候会失去平衡二叉树

假设结点A是一颗子平衡二叉树，当在以A为根结点的AVL树上插入一个新结点时，会出现以下三种情况：

1）如果插入前A—>bf=1（A的左子树深度比右子树深度多1），如果插入在A的左子树上且A的左子树深度增加了1，则此时A—>bf=2需要对树进行调整，如图2.1结点C为新插入的结点，C可以插入到B的左子树上（如图2.1（b））或者右子树上（如图2.1（c））。

2）如果插入前A—>bf=0（A的左子树和右子树深度相等），如果插入在A的左子树上且A的左子树深度增加了1，则此时只需要改变A的平衡因子为1即可不需要对树进行调整。如果插入在A的右子树上且A的右子树深度增加了1，则此时只需要改变A的平衡因子为-1即可不需要进行调整。

3）如果插入前A—>bf=-1（A的左子树深度比右子树深度少1），如果插入在A的右子树上且A的右子树深度增加了1，则此时A—>bf=-2需要对树进行调整，如图2.2结点C为新插入的结点，C可以插入在B的左子树上（如图2.2（b））或者右子树上（如图2.2（c））。

当出现图2.1（b）中的情况时只需要进行一次右旋转操作，旋转后得到如图2.1（d）所示的平衡二叉树。

当出现图2.1（c）中的情况时需要先对A的左子树B进行左旋操作，然后再进行右旋操作，旋转后得到如图2.1（e）所示的平衡二叉树。

当出现图2.2（b）中的情况时只需要进行一次右旋转操作，旋转后得到如图2.1（d）所示的平衡二叉树。

当出现图2.2（c）中的情况时需要先对A的右子树B进行右旋，然后再进行左旋操作，旋转后得到如图2.2（e）所示的平衡二叉树。

3.调整措施

这个过程不复杂，但是表述起来有点啰嗦，我们直接参考这里吧https://www.cnblogs.com/zhangbaochong/p/5164994.html

一、单旋转 

 

上图是左左的情况，k2结点不满足平衡性，它的左子树k1比右子树z深两层，k1子树中更深的是k1的左子树x，因此属于左左情况。

为了恢复平衡，我们把x上移一层，并把z下移一层，但此时实际已经超出了AVL树的性质要求。为此，重新安排结点以形成一颗等价的树。为使树恢复平衡，我们把k2变成这棵树的根节点，因为k2大于k1，把k2置于k1的右子树上，而原本在k1右子树的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子树上，这样既满足了二叉查找树的性质，又满足了平衡二叉树的性质。

这种情况称为单旋转。

二、双旋转

对于左右和右左两种情况，单旋转不能解决问题，要经过两次旋转。

对于上图情况，为使树恢复平衡，我们需要进行两步，第一步，把k1作为根，进行一次右右旋转，旋转之后就变成了左左情况，所以第二步再进行一次左左旋转，最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树。

AVL树的删除操作：

同插入操作一样，删除结点时也有可能破坏平衡性，这就要求我们删除的时候要进行平衡性调整。

删除分为以下几种情况：

首先在整个二叉树中搜索要删除的结点，如果没搜索到直接返回不作处理，否则执行以下操作：

1.要删除的节点是当前根节点T。

如果左右子树都非空。在高度较大的子树中实施删除操作。

分两种情况：

(1)、左子树高度大于右子树高度，将左子树中最大的那个元素赋给当前根节点，然后删除左子树中元素值最大的那个节点。

(1)、左子树高度小于右子树高度，将右子树中最小的那个元素赋给当前根节点，然后删除右子树中元素值最小的那个节点。

如果左右子树中有一个为空，那么直接用那个非空子树或者是NULL替换当前根节点即可。

2、要删除的节点元素值小于当前根节点T值，在左子树中进行删除。

递归调用，在左子树中实施删除。

这个是需要判断当前根节点是否仍然满足平衡条件，

如果满足平衡条件，只需要更新当前根节点T的高度信息。

否则，需要进行旋转调整：

如果T的左子节点的左子树的高度大于T的左子节点的右子树的高度，进行相应的单旋转。否则进行双旋转。

3、要删除的节点元素值大于当前根节点T值，在右子树中进行删除。