[AGC043B]123 Triangle

Posted 2021-08-29 Tan_tan_tann

123 Triangle

题解

最开始的序列是含有$1,2,3$的，但当我们进行一次操作后，原序列就会变成只含$0,1,2$的序列，因为$3$一定会被消掉。
如果$3$与$3$进行相减，那么一定会得到$0$，如果与$1/2$相减，那么就会得到$2/1$，无论如何$3$都会被消掉。
当消掉$3$之后，我们就只剩$0,1,2$了，考虑答案会是什么。
对于一个位置上的$1$，如果它的位置的旁边存在$0/2$的时候，它一定可以传递下去，即$1$的数量不会减少。而当它旁边都是$1$的时候，它才会被消掉。
所以我们要消掉$1$，需要让最后时刻$1$覆盖全场。
所以存在$1$的时候，要么消掉$1$，此时$2$就不存在了，要么让$1$成为答案，答案自然不可能是$2$了。
而当$1$不存在时，$2$的二进制位与$1$是等价的，我们可以将$2$当作$1$来考虑。当然，此时的答案是$0/2$。

由于答案只会是$0/1$，所以我们的操作可以看作是模$2$意义下的减法，自然也等价与模$2$意义下的加法。
既然是加法了，那么就是相邻两位相加得到下一个序列中的数，这不是杨辉三角吗？？？
很明显，对于一个长度为$n$的序列，第$i$位贡献位$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1}\right)$，我们只要将为$1$的位置的贡献加起来看看奇偶性即可。

但很明显，我们不可能直接通过其阶乘来求解，因为这涉及到其$2$的幂，不能代模。
但我们可以处理出来它的阶乘含$2$的数量，通过$2$的次数加减判断最后答案的奇偶性。
时间复杂度$O\left(nlogn\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int mo=1e8+7;
const int jzm=2333;
const int lim=1000000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,a[MAXN],ans,cnt[MAXN];
void init(){
	cnt[0]=0;
	for(int i=2;i<=1e6;i<<=1)
		for(int j=i;j<=1e6;j+=i)cnt[j]++;
	//for(int i=1;i<=100;i++)printf("%d:%d\\n",i,cnt[i]);
	for(int i=2;i<=1e6;i++)cnt[i]+=cnt[i-1];
}
int C(int x,int y){
	if(x<0||y<0||x<y)return 0;
	return cnt[x]==cnt[y]+cnt[x-y]; 
}
signed main(){
	read(n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%1d",&a[i]);
	if(n==1){printf("%d\\n",a[1]);return 0;}int ft=2;
	for(int i=1;i<n;i++)a[i]=Fabs(a[i]-a[i+1]);n--;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i]==1)ft=1;init();
	if(ft==2)for(int i=1;i<=n;i++)a[i]/=2;
	else for(int i=1;i<=n;i++)a[i]&=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans^=(C(n-1,i-1)&a[i]);
	printf("%d\\n",ans*ft);
	return 0;
}

谢谢！！！