[HNOI2011]卡农
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[HNOI2011]卡农相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
卡农
题解
我们可以发现，一个合法的序列应当满足下面 3 3 3个条件：
- 没有空集的存在。
- 所有集合都不会重复出现。
- 每个音阶的出现次数为偶。
由于要保证每个音阶的出现次数为偶，所以当选择的前
m
−
1
m-1
m−1个音阶确定后，我们会选择的第
m
m
m个音阶也就确定了，此时选择的音阶就是选择前
m
−
1
m-1
m−1个集合后出现次数为奇数的音阶的集合。
而我们要选择的前
m
−
1
m-1
m−1个音阶肯定要首先满足前两个条件，总共有
A
2
n
−
1
m
−
1
A_{2^n-1}^{m-1}
A2n−1m−1个，我们定义满足条件的
m
m
m个音阶的选择方法有
f
i
f_{i}
fi种。
我们接下来要使得这个音阶即不为空也未曾出现。
如果它是空集的话，我们去掉最后一个后整个序列仍然是满足条件的，所以我们可以从
A
2
n
−
1
m
−
1
A_{2^n-1}^{m-1}
A2n−1m−1中减去
f
m
−
1
f_{m-1}
fm−1。
同样，如果有重复出现的，将重复出现的两个数去掉仍然满足条件。
而重复出现的数有
m
−
1
m-1
m−1个位置，
2
n
−
m
+
1
2^n-m+1
2n−m+1个位置，要减去
(
m
−
1
)
(
2
n
−
m
+
1
)
f
m
−
2
(m-1)(2^n-m+1)f_{m-2}
(m−1)(2n−m+1)fm−2。
所以，我们可以知道
A
n
s
=
f
m
=
A
2
n
−
1
m
−
1
−
f
m
−
1
−
(
m
−
1
)
(
2
n
−
m
+
1
)
f
m
−
2
Ans=f_{m}=A_{2^n-1}^{m-1}-f_{m-1}-(m-1)(2^n-m+1)f_{m-2}
Ans=fm=A2n−1m−1−fm−1−(m−1)(2n−m+1)fm−2
很容易发现，其中的
f
f
f可以通过递推的形式求解。
时间复杂度
O
(
n
)
O\\left(n\\right)
O(n)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
const int mo=1e8+7;
const int jzm=2333;
const int lim=1000000;
const int orG=3,invG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
_T f=1;x=0;char s=getchar();
while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0){x=(~x)+1;putchar('-');}if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,m,ans,f[MAXN],inv[MAXN],dp[MAXN],pow2[MAXN];
int lg(int x){int res=0;while(x)res++,x>>=1;return res-1;}
signed main(){
read(n);read(m);
inv[0]=inv[1]=f[1]=dp[0]=pow2[0]=1;pow2[1]=2;
for(int i=2;i<=1e6;i++)
f[i]=1ll*(mo-mo/i)*f[mo%i]%mo,
inv[i]=1ll*inv[i-1]*f[i]%mo,
pow2[i]=add(pow2[i-1],pow2[i-1],mo);
if(lg(m)>=n){puts("0");return 0;}int tmp=pow2[n],sum=1;
for(int i=2;i<=m;i++){
tmp=add(tmp,mo-1,mo);sum=dp[i]=1ll*sum*tmp%mo;
dp[i]=add(dp[i],mo-dp[i-1],mo);
dp[i]=add(dp[i],mo-1ll*dp[i-2]*(i-1)%mo*add(pow2[n],mo-i+1,mo)%mo,mo);
}
printf("%d\\n",1ll*dp[m]*inv[m]%mo);
return 0;
}
谢谢！！！
以上是关于[HNOI2011]卡农的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章