dp解决同时找两条最大路径和问题--蓝桥杯传纸条

Posted C_YCBX Py_YYDS

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了dp解决同时找两条最大路径和问题--蓝桥杯传纸条相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目

题目解析

读完这道题,我们很快能想起dp求最大路径和,然而这是要同时找到两条路径,还不带重样的,这怎么办呢?

  • 我们很快想到:同时维护两个位置的dp,每个位置的dp代表起点到达该位置的最大路径和。
    图解:

题目也确实就是这样解开的,那么问题又出现了,如何保证这两条路径不是同一个路径呢?我们需要维护一个四维数组,该数组记录起点到达两个位置的最佳答案,在进行更新时我们不更新除到达终点外的任意两个位置相同的情况,因为一旦把这种情况进行更新,那在到达真正终点的中间过程便会出现两条重样的最佳路径和相加。

所以在到达终点前,我们对两个位置相同的情况进行跳过处理。

因为就算到了终点,上一个dp的选择也不可能是两个重复的位置,因为这样的位置不会被更新!

   if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2)     
                   continue;

根据以上思路得到状态转移方程:

dp[x1][y1][x2][y2]=max(
dp[x1-1][y1][x2-1][y2],dp[x1][y1-1][x2-1][y2]
,dp[x1][y1-1][x2][y2-1],dp[x1-1][y1][x2][y2-1]
)
+map[x1][y1]+map[x2][y2];

  • 但我们很快意识到出现了一个问题—时间复杂度太高了!为O(n^4)能否再进行优化呢?

答案是肯定的
我们一起来找一个规律:

假如现在是 5 x 5 的矩阵,每个人从起点走三步,会出现四种情况。

这四种情况的坐标分别为:(0,3)(1,2) (2,1) (3,0)。通过这四个坐标,发现一个规律:0 + 3 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3 + 0 = 3 = k(k为走的步数)。所有,x1 + y1 = kx2 + y2 = k。所以,y = k - x

y = k - x,我们不需要对y进行遍历了,我们只需要加入一个k便可只第k步下的y是多少,所以减少了一层循环。

因此转移方程优化为:

dp[k][x1][x2]=max(
dp[k-1][x1][x2],
dp[k-1][x1-1][x2-1],
dp[k-1][x1-1][x2],
dp[k-1][x1][x2-1])
+map[x1][k-x1]+map[x2][k-x2];

其中,dp[k][x1][x2] 就是四维的 dp[x1][y1][x2][y2]dp[k-1][x1][x2] 就是四维的 dp[x1][y1-1][x2][y2-1]map[x1][k-x1] 就是四维的 map[x1][y1] ,以此类推。

观察到k最多可以取到 (m-1) + (n-1) = m+n-2。最小值为前进一次,同样的我们需要对到达终点前的过程进行必要的 continue


我们看到在状态方程中第一个维度 k 只和上一行 k-1 相关所以可直接去掉这一维度,将空间复杂度进一步优化为 O(n^2) !

但由于直接去掉这一维度,会出现相同答案覆盖的情况,所以一般采取从后往前遍历,就不会出问题!后面解题代码就不写了这种方式了。
得到以下状态转移方程:

dp[x1][x2] = max(
dp[x1][x2], dp[x1 - 1][x2 - 1], 
dp[x1 - 1][x2], 
dp[x1][x2 - 1]) 
+ map[x1][k - x1] + map[x2][k - x2];

解题代码

  1. 四维数组解法O(n^4)解法
#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define MAX_NUM 52

int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度
int dp[MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];

int maxPath(int m, int n)
{
	memset(dp,0,sizeof dp);
    for (int x1 = 1; x1 <= m; x1++)
    {
        for (int y1 = 1; y1 <= n; y1++)
        {
            for (int x2 = 1; x2 <= m; x2++)
            {
                for (int y2 = 1; y2 <= n; y2++)
                {
                    if ((x1 < m || y1 < n) && x1 == x2 && y1 == y2)
                    {
                        continue;
                    }
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max( max(dp[x1-1][y1][x2-1][y2], dp[x1-1][y1][x2][y2-1]),
                                              max(dp[x1][y1-1][x2-1][y2], dp[x1][y1-1][x2][y2-1]))
                                             + map[x1][y1] + map[x2][y2];
                }
            }
        }
    }
    return dp[m][n][m][n];
}

int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);

    for (int i = 1;i <= m; i++)
        for (int j = 1;j <= n; j++)
            scanf("%d", &map[i][j]);

    int ans = maxPath(m, n);
    printf("%d\\n", ans);

    return 0;
}
  1. 三维数组O(n^3)解法
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define MAX_NUM 52

int map[MAX_NUM][MAX_NUM];     //好心程度 | 权值
int dp[MAX_NUM+MAX_NUM][MAX_NUM][MAX_NUM];

int maxPath(int m, int n)
{
	memset(dp,0,sizeof dp);
    for (int k = 1;k <= m+n-2; k++)
    {
        for (int x1 = 0; x1 <= k; x1++)
        {
            for (int x2 = 0; x2 <= k; x2++)
            {
                if (x1 == x2&&k!=m+n-2)    //x1 == x2 相当于(x1 == x2 && y1 = y2)
                {
                    continue;
                }
                dp[k][x1][x2] = max(max(dp[k-1][x1][x2], dp[k-1][x1-1][x2-1]),
                                    max(dp[k-1][x1-1][x2], dp[k-1][x1][x2-1]))
                                + map[x1][k-x1] + map[x2][k-x2];
            }
        }
    }
    return dp[m+n-2][m-1][m-1];
}

int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);

    for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            scanf("%d", &map[i][j]);

    int ans = maxPath(m, n);
    printf("%d\\n", ans);

    return 0;
}

以上是关于dp解决同时找两条最大路径和问题--蓝桥杯传纸条的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

P1006 传纸条(dp)

luogu 1006 noip2008 传纸条

CH5103 传纸条线性dp

Acwing-275-传纸条(DP)

NOIP 2008 传纸条题解[双线程DP]

《算法竞赛进阶指南》0x51线性DP 传纸条