prim算法和kruskal算法的简洁证明

Posted 2021-08-28 issue是fw

文章目录

• prim树算法
• • 算法流程
  • 正确性
• kruskal算法
• • 算法流程
  • 正确性

本文是对网上资料的一些整合,附加了部分个人的理解,主要参考下面两篇博客

prim证明

Kruskal证明

prim树算法

算法流程

一开始任意选定一个点,然后在所有与选定点相邻的边中选出一条代价最小且另一端没有被选中的边加入生成树,然后反复迭代这个过程即可得到最小生成树.

正确性

设最小生成树为$G$,使用$prim$算法得到的生成树为$G^{\prime }$

他们加入的边只有$x$处不同,考虑$prim$算法第一次遇到不同的边$e$时,$e$连接$u,v$点

$u$所在连通块点集为$V$(此前$prim$算法生成的)

Ⅰ.在图$G$中找出$u->v$的路径,路径上必然有一边$f$满足一端所在点落在 $V$内,另一端不在

Ⅱ.而且根据$prim$算法,$e$边的权值必然小于等于$f$边(因为$e,f$都和点集$V$相邻,都能被选择,但最后$prim$选择的是边$e$)

Ⅲ.考虑在图$G$去掉$f$边,加入$e$边,也能起到连通$V$和另一端连通块的作用,而且代价不会变差

综上所诉,选择$e$边后仍然存在最小生成树的解,而且此时必然满足$cost(e)==cost(f)$.于是我们反复迭代这个过程,最后得到这$x$条不同的边都可以加入最小生成树$G^{\prime }$而不影响正确性

kruskal算法

算法流程

总是选出当前代价最小的边,满足这条边加入后不会成环

反复迭代就能得到最小生成树

正确性

考虑$kruskal$的第一步选出全局最小的边$e_1$

显然$e_1$一定在最小生成树中。如果不在,那我们把$e_1$加入到最小生成树会成环，环上任意一条边权值都大于$e_1$,显然删去任意一条边答案都会更优,与这是最小生成树矛盾

由此得到$e_1$必然在最小生成树中.随后把$e_1$连接的两点看成一个连通块(一个点),重复上述步骤,不难证明$kruskal$的选择方式一定是正确的