（树上启发式合并）CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths

Posted 2021-08-28 繁凡さん

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Problem

给定一棵以 $1$ 为根的有根树，每条边的权值是 ['a','v'] 的一个字母。现对于每个树上结点 $x$ ，求出结点 $x$ 的子树的最长的一条 “回文” 路径的长度。“回文” 路径的含义是将路径上所有的字母取出，任意排列后可以组成一个回文串。

$1\le n\le 5\times 10^5$

Solution

字符串重排后是回文串，显然该字符串内最多只有一种字符出现奇数次，其余均出现偶数次。

很容易可以想到异或操作。

统计字符串是否只有一个字符出现奇数次，显然可以将字符表示为二进制数，每条边一个字符，我们就可以将边权设为 $2^{ch{-}^{\prime }{a}^{\prime }}$ ，两条路的合并操作就可以 $O(1)$ 使用 $\text{XOR}$ 来合并。我们可以根据一条路径上的异或和来判断是否是回文串。

显然对于树上两条路径之间的异或和有：

$\begin{array}{rl}\text{dis}(u,v)& =\text{dis}(u,1)\oplus \text{dis}({\text{lca}}_{u,v},1)\oplus \text{dis}(v,1)\oplus \text{dis}({\text{lca}}_{u,v},1)\\ & =\text{dis}(u,1)\oplus \text{dis}(v,1)\end{array}$

因此，我们只需处理出每个点 $u$ 到根结点 $1$ 的路径权值的异或和 ${\text{XOR}}_u=\text{dis}(u,1)$，就可以 $O(1)$ 计算出两点间的路径权值异或和。

显然一条路径合法（是回文串）当且仅当 ${\text{XOR}}_u\oplus {\text{XOR}}_v$ 的二进制数中仅有一个 $1$ 或一个都没有 ，即如下 $23$ 种状态：

000...00  
100...00  
010...00 
 ......   
000...10   
000...01 

即合法路径 $(u,v)$ 为 ${\text{XOR}}_u\oplus {\text{XOR}}_v=0$ 或者 ${\text{XOR}}_u\oplus {\text{XOR}}_v=2^i$

我们需要求的就是以 $u$ 为根子树中的两点 $x,y$，满足 ${\text{XOR}}_x\oplus {\text{XOR}}_y=0$ 或${\text{XOR}}_x\oplus {\text{XOR}}_y=2^i$ 的点对所有 $(x,y)$ 中的最长长度。

对于以 $u$ 为根的子树，树中可能存在的最长路径显然有三种：

1. 不经过根 $u$
   即最长路径在子树中
2. 路径的一个端点就是根 $u$
   即子树中的一点 $v$ 与 根 $u$ 构成的路径
3. 经过根 $u$ ，两个端点在子树中
   即两个端点在子树中，路径经过了根 $u$

设 f[x] 表示当前子树中结点 $v$ 到根结点 $u$ 的路径的异或和等于 $x$ 的结点 $v$ 的最大深度。

对于第一种情况，显然答案就是 ans u = max ⁡ { ans u , ans v } \\text{ans}_u = \\max\\{\\text{ans}_u, \\text{ans}_v\\} ansu​=max{ansu​,ansv​}，$v$ 是 $u$ 的子树中的一个结点。

对于第二种情况，显然答案就是 ans u = max ⁡ { ans u , max ⁡ { f [ XOR u ] , f [ XOR u ⊕ 2 i ] } − depth [ u ] } \\text{ans}_u = \\max\\{\\text{ans}_u, \\max\\{f[\\text{XOR}_u], f[\\text{XOR}_u\\oplus 2^i]\\} - \\text{depth}[u]\\} ansu​=max{ansu​,max{f[XORu​],f[XORu​⊕2i]}−depth[u]}。

对于第三种情况，我们无法直接计算，此时显然可以直接进行树上启发式合并统计贡献。

即先计算轻儿子，回答询问之后，清空轻儿子的贡献 $f_i$，然后处理重儿子，保留重儿子的贡献 $f_i$，然后再计算一次剩余的轻儿子，保留贡献在数组 $f_i$ 中，用于与上层合并。 此时经过根节点 $u$ 的路径 $(x,u)$的长度显然为 max{f[XOR[x]], f[XOR[x] ^ (1 << i)]} - depth[u] + depth[x] - depth[u]，即以 $u$ 为根的出 $x$ 子树的其他子树中与 ${\text{XOR}}_x$ 异或和为 $0$ 或 $2^i$ 的深度最大的结点 $y$ 之间的距离。我们先更新答案 ans ，退出遍历以后再更新 $f_i$ 数组，因为我们并不能自己匹配自己（

注意这里给的是边权，我们维护的时候需要再设一个数组 id 去区分开 $(u,v)$ 和 $(u,w)$ ，比较麻烦。但它给定的边是 $p_{i+1}$ 与 $i+1$ 连权值为 ch 的边，并保证 $p_{i+1}$ 一定小于 $i+1$ ，并且因为是树，没有环，所以我们可以只连单向边 $(p_{i+1}$

CF741D Arpa's letter-marked tree and Mehrdad's Dokhtar-kosh paths

CF741D Arpa's letter-marked tree and Mehrdad's Dokhtar-kosh paths

CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths

CF741D Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths

「CF741D」Arpa’s letter-marked tree and Mehrdad’s Dokhtar-kosh paths

CF600ELomset gelral 题解（树上启发式合并）