2021牛客多校4 - Tree Xor(线段树+异或区间拆分)

Posted 2021-08-28 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一棵 $n$ 个点组成的树，每个点权的取值范围是 $[l_i,r_i]$，每条边权代表的是两点的异或值，现在问这棵树有多少种有效赋值

题目分析：假设点 $1$ 为基准点，找到点 $1$ 到 $n$ 个点的路径上的异或和记为 $w_i$，那么问题转换为了，点 $1$ 有多少种可行的取值 $x$，需要同时满足 $n$ 个不等式：$l_i\le (w_i\oplus x)\le r_i$

考虑 $w_i\oplus [l_i,r_i]$ 后的新区间，打表发现并不具有连续性。但是这里有一个异或的性质：

我们可以利用 $[0,2^{30}-1]$ 的线段树, 把 $[L_i,R_i]$ 分成 $O(logW)$
个连续的区间，且每个区间的形式是 : $k...30$ 位相同，$0...k-1$ 位是 $0$ 到 $2^k-1$，这样的区间异或上
$w_i$ 后仍然还是一个区间

所以可以利用上述性质将 $w_i\oplus [l_i,r_i]$ 拆成 $O(logW)$ 个新区间，放到线段树上，最后统计一下 $n$ 个新区间的交集就是答案了

代码：

// Problem: Tree Xor
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11255/E
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 4000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+100;
const int limit=(1<<30)-1;
int l[N],r[N],w[N],n;
vector<pair<int,int>>node[N];
struct Node {
	int l,r,lazy;
}tree[N*4*20];
int tot=0;
int newnode() {
	tot++;
	tree[tot].l=tree[tot].r=tree[tot].lazy;
	return tot;
}
int get_l(int x,int dep) {//return xxxxx|00000
	return x&(limit^((1<<dep)-1));
}
int get_r(int x,int dep) {//return xxxxx|11111
	return x|((1<<dep)-1);
}
int inter(int l1,int r1,int l2,int r2) {
	return max(l1,l2)<=min(r1,r2);
}
void insert(int& k,int l,int r,int x,int y,int w,int dep) {
	if(!k) {
		k=newnode();
	}
	if(get_l(l^w,dep)>=x&&get_r(l^w,dep)<=y) {
		tree[k].lazy++;
		return;
	}
	if(tree[k].lazy) {
		int lz=tree[k].lazy;
		tree[k].lazy=0;
		if(!tree[k].l) {
			tree[k].l=newnode();
		}
		if(!tree[k].r) {
			tree[k].r=newnode();
		}
		tree[tree[k].l].lazy+=lz;
		tree[tree[k].r].lazy+=lz;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(inter(x,y,get_l(l^w,dep-1),get_r(l^w,dep-1))) {
		insert(tree[k].l,l,mid,x,y,w,dep-1);
	}
	if(inter(x,y,get_l((mid+1)^w,dep-1),get_r((mid+1)^w,dep-1))) {
		insert(tree[k].r,mid+1,r,x,y,w,dep-1);
	}
}
int query(int k,int l,int r) {
	if(!k) {
		return 0;
	}
	if(tree[k].lazy==n) {
		return r-l+1;
	}
	if(tree[k].lazy) {
		int lz=tree[k].lazy;
		tree[k].lazy=0;
		if(tree[k].l) {
			tree[tree[k].l].lazy+=lz;
		}
		if(tree[k].r) {
			tree[tree[k].r].lazy+=lz;
		}
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	return query(tree[k].l,l,mid)+query(tree[k].r,mid+1,r);
}
void dfs(int u,int fa,int sum) {
	w[u]=sum;
	for(auto it:node[u]) {
		int v=it.first,w=it.second;
		if(v==fa) {
			continue;
		}
		dfs(v,u,sum^w);
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		read(l[i]),read(r[i]);
	}
	for(int i=1;i<n;i++) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		node[u].push_back({v,w});
		node[v].push_back({u,w});
	}
	dfs(1,-1,0);
	int rt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		insert(rt,0,limit,l[i],r[i],w[i],30);
	}
	cout<<query(rt,0,limit)<<endl;
	return 0;
}