2021牛客暑期多校训练营 J. Product of GCDs 不动脑子的莫比乌斯反演做法（

Posted 2021-08-28 繁凡さん

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Problem

$t$ 组数据

给定一个集合 S，在 S 中找出元素个数为 $k$ 的子集合 T ，计算 T 中所有元素的$\gcd$，将所有的 T 得到的 $\gcd$ 乘在一起得到结果，结果对 P 取模。

$t\le 60,10^6\le P\le 10^{14},1\le x_i\le 8\cdot 10^4,1\le |S|\le 40000,1\le k\le \min (|S|,30)$

Solution

统计 $\gcd$ 的乘积，显然无法正面去做，显然考虑从贡献的角度出发，枚举 $\gcd$，我们只需要计算每个 $\gcd$ 出现多少次，乘起来就是答案。

显然一个集合 $T$ 的 $\gcd =d$，则集合 $T$ 中元素均为 $d$ 的倍数，且倍数互质。

因此我们可以倍数法 $O(n\log n)$ 预处理 $f[i]$ 表示集合 $S$ 中 $i$ 的倍数的数的个数。

显然从质因子出发容斥计算即可。

不动脑子的莫比乌斯反演做法：

      ∑ d = 1 max ⁡ { x i } d    ∑ T ∈ S [ gcd ⁡ ( T 1 d , T 2 d , ⋯   , T k d ) = 1 ] ( m o d p ) = ∑ d = 1 max ⁡ { x i } d    ∑ T ∈ S ∑ i ∣ gcd ⁡ ( T 1 d , ⋯   , T k d ) μ ( i ) ( m o d p ) = ∑ d = 1 max ⁡ { x i } d    ∑ T ∈ S ∑ i = 1 ⌊ max ⁡ { x i } d ⌋ μ ( i ) [ i ∣ T 1 d ] [ i ∣ T 2 d ] ⋯ [ i ∣ T k d ] ( m o d p ) = ∑ d = 1 max ⁡ { x i } d    ∑ i = 1 ⌊ max ⁡ { x i } d ⌋ μ ( i ) ( f [ i × d ] k ) ( m o d p ) = ∑ d = 1 max ⁡ { x i } d    ∑ i = 1 ⌊ max ⁡ { x i } d ⌋ μ ( i ) ( f [ i × d ] k ) ( m o d φ ( p ) ) ( m o d p ) \\begin{aligned}&\\ \\ \\ \\ \\ \\displaystyle \\sum_{d = 1}^{\\max\\{x_i\\}}d^{\\ \\ \\displaystyle \\sum_{T\\in S}[\\gcd(\\frac {T_1} d,\\frac {T_2} d,\\cdots,\\frac {T_k} d)=1]}\\pmod p&\\\\&=\\displaystyle \\sum_{d = 1}^{\\max\\{x_i\\}}d^{\\ \\ \\displaystyle \\sum_{T\\in S}\\sum_{i\\mid \\gcd(\\frac {T_1} d,\\cdots,\\frac {T_k} d)} \\mu(i) }\\pmod p&\\\\&=\\displaystyle \\sum_{d = 1}^{\\max\\{x_i\\}}d^{\\ \\ \\displaystyle \\sum_{T\\in S}\\sum_{i=1}^{\\left\\lfloor\\frac {\\max\\{x_i\\}} d\\right\\rfloor}\\mu(i) [i\\mid \\frac {T_1} d][i\\mid \\frac {T_2} d]\\cdots [i\\mid \\frac {T_k} d]}\\pmod p&\\\\&=\\displaystyle \\sum_{d = 1}^{\\max\\{x_i\\}}d^{\\ \\ \\displaystyle \\sum_{i=1}^{\\left\\lfloor\\frac {\\max\\{x_i\\}} d\\right\\rfloor}\\mu(i) {f[i\\times d] \\choose k}}\\pmod p&\\\\&=\\displaystyle \\sum_{d = 1}^{\\max\\{x_i\\}}d^{\\ \\ \\displaystyle \\sum_{i=1}^{\\left\\lfloor\\frac {\\max\\{x_i\\}} d\\right\\rfloor}\\mu(i) {f[i\\times d] \\choose k}\\pmod {\\varphi(p)}}\\pmod p\\end{aligned} ​     d=1∑max{xi​}​d  T∈S∑​[gcd(dT1​​,dT2​​,⋯,dTk​​)=1](modp)=d=1∑max{xi​}​d  T∈S∑​i∣gcd(dT1​​,⋯,dTk​​)∑​μ(i)(modp)=d=1∑max{xi​}​d  T∈S∑​i=1∑⌊dmax{xi​}​⌋​μ(i)[i∣dT1​​][i∣dT2​​]⋯[i∣2021牛客暑期多校训练营2——Product of GCDs

2021牛客暑期多校训练营4 G.Product(容斥,模型转化)

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