动态规划股票交易

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划股票交易相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

1.买卖股票的最佳时机

1.1 题目

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

∙ \\bullet ∙ 1 <= prices.length <= 105
∙ \\bullet ∙ 0 <= prices[i] <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

1.2 分析

∙ \\bullet ∙ 我们只需要进行一次交易，即买入一次卖出一次。当数组中只有一个数字时返回0，当数组中数字倒序时无法买卖返回0。

∙ \\bullet ∙ 在编写时我们需要一个变量ans来指向第一个数字（ans表示买入的时刻，我们要保证它尽量的小），然后从下标为1的地方遍历数组，当遍历元素小于ans时，我们就更新ans。每次都将最终返回结果res与当前元素减去ans的值进行比较，取其中较大的值。
r e s = m a x ( r e s , p r i c e s [ i ] − a n s ) ; res = max(res,prices[i]-ans); res=max(res,prices[i]−ans);

1.3 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        int ans=prices[0],res=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            if(prices[i]<ans) ans=prices[i];
            res=max(res,prices[i]-ans);  
        }
        return res;

    }
};

2.买卖股票的最佳时机 II

2.1 题目

给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:
输入: prices = [7,1,5,3,6,4]
输出: 7
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-3 = 3 。

示例 2:
输入: prices = [1,2,3,4,5]
输出: 4
解释: 在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3:
输入: prices = [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

∙ \\bullet ∙ 1 <= prices.length <= 3 * 104
∙ \\bullet ∙ 0 <= prices[i] <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

2.2 分析

∙ \\bullet ∙ 我们注意到与第一问不同，这次可以多次的买入与卖出，然后找到最大的利润。

∙ \\bullet ∙ 在这里我们需要设置两个状态，dp[i][0] 表示当前不持有股票，dp[i][1] 表示当前持有股票。那么最后返回dp[n-1][0]。

∙ \\bullet ∙ 对于dp[i][0] 来说，可能昨天也不持有（dp[i-1][0]）或者昨天持有今天卖出(dp[i-1][1]+prices[i])，取两者的较大值。
d p [ i − 1 ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ] ) ; dp[i-1][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]); dp[i−1][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]);

∙ \\bullet ∙ 对于dp[i][1] 来说，可能昨天也持有（dp[i-1][1]）或者昨天不持有今天买入(dp[i-1][0]-prices[i])，取两者的较大值。
d p [ i − 1 ] [ 1 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 1 ] , d p [ i − 1 ] [ 0 ] − p r i c e s [ i ] ) ; dp[i-1][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]); dp[i−1][1]=max(dp[i−1][1],dp[i−1][0]−prices[i]);

2.3 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==1) return 0;
        //dp[i][0]表示当前不持有股票，dp[i][1]表示当前持有股票
        vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(2,0));
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
        }
        return dp[n-1][0];
    }
};

3.最佳买卖股票时机含冷冻期

3.1 题目

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

3.2 分析

∙ \\bullet ∙ 本题相对于上一题增加了一个冷冻期，此时持有股票的状态得分成两部分，一个为今天持有股票且不卖出（dp[i][0]），一个为今天持有且今天卖出（明天为冷冻期） （dp[i][1]）。不持有股票的状态不变（dp[i][2]）。最后返回 max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);

∙ \\bullet ∙ 对于dp[i][0]来说，可能昨天也持有（dp[i-1][0]）或者昨天不持有今天买入(dp[i-1][2]-prices[i])，取二者较大值。
d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 2 ] − p r i c e s [ i ] ) ; dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]); dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][2]−prices[i]);

∙ \\bullet ∙ 对于dp[i][1]来说，昨天必须持有股票今天才可以卖出。
d p [ i ] [ 1 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + p r i c e s [ i ] ; dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i]; dp[i][1]=dp[i−1][0]+prices[i];

∙ \\bullet ∙ 对于dp[i][2]来说，可能昨天也不持有股票（dp[i-1][2]）或者昨天持有并卖出(dp[i-1][1])，取二者较大值。
d p [ i ] [ 2 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 2 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] ) ; dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]); dp[i][2]=max(dp[i−1][2],dp[i−1][1]);

3.3 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n=prices.size();
        if(n==0) return 0;
        /*
        dp[i][0] 表示当天持有一支股票
        dp[i][1] 表示当天卖出股票（意思就是第i+1天是冷冻期）
        dp[i][2] 表示当天不持有股票
        */
        vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(3,0));
        dp[0][0]=-prices[0];

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i][0]= max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]); //可能是昨天就持有或者昨天不持有今天买入
            dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i]; //昨天必须持有今天才可以卖出
            dp[i][2]=max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]);
        }
        return max(dp[n-1][1],dp[n-1][2]);
    }
};

4.买卖股票的最佳时机含手续费

4.1 题目

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

∙ \\bullet ∙ 1 <= prices.length <= 5 * 104
∙ \\bullet ∙ 1 <= prices[i] < 5 * 104
∙ \\bullet ∙ 0 <= fee < 5 * 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

4.2 分析

∙ \\bullet ∙ 本题其实与第二题十分相似，只是在卖出的基础上添加了小费，所以我们只需要在每次卖出的基础上补充小费即可。

∙ \\bullet ∙ 同样设置两个状态，dp[i][0] 表示当前不持有股票，dp[i][1] 表示当前持有股票。那么最后返回dp[n-1][0]。

∙ \\bullet ∙ dp[i][1] 不变，对于dp[i][0]加上小费fee。
d p [ i ] [ 0 ] = m a x ( d p [ i − 1 ] [ 0 ] , d p [ i − 1 ] [ 1 ] + p r i c e s [ i ] − f e e ) ; dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee); dp[i][0]=max(dp[i−1][0],dp[i−1][1]+prices[i]−fee);

4.3 代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        int n=prices.size();
        if(n==1) return 0;
        //dp[i][0]表示当前不持有股票，dp[i][1]表示当前持有股票
        vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(2,0));
        dp[0][1]=-prices[0];
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i]-fee);
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
        }
        return dp[n-1][492，动态规划和贪心算法解买卖股票的最佳时机 II


 Leetcode No.188 买卖股票的最佳时机 IV（动态规划）


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