Tree Xor(未完全搞定)

Posted 2021-08-28 Jozky86

Tree Xor

题意：

一颗有n个点的树，边权给出，第i个节点的权值为Wi，但并不知道Wi，只知道Wi在[Li,Ri]，边权等于两端点的异或值
问W序列有多少可能

题解：

如果我们知道一个点的值，就可以推出其他所有点的值。
现在我们令w[1]=0,解出剩下的w，如果令w[1] = a ,剩下的w都会xor上a
所以就变成了求解合法的a的数量，限制有n个不等式，形式为：
L[i] <= W[i] Xor a <= R[i]
你可能会觉得a会属于[L[i] Xor W[i],R[i] Xor w[i]],但问题是原本[L,R]是连续的，但是异或w[i]后不一定连续。
出题很妙的地方：

我们利用[0,2³⁰-1]的线段树，把[L[i],R[i]]分成O(logW)个连续的区间，且每个区间的形式是K…30位相同，0…k-1位是0到2^k-1，这样的区间异或上w[i]后仍然还是一个区间

刚才这一部分是官方题解里的，谈谈我的理解
刚才说了区间xor W[i]后不一定连续，但是如果我们把区间[L[i],R[i]]分成好几个小区间，这个小区间Xor W[i]后，这几个小区间可能本身还是连续的(不看这几个小区间之间的联系，只看小区间本身)。
那该怎么分呢？我们利用[0,2³⁰-1]的线段树，我们想下建树过程，一开始是[L=0,R=111111…（一共30个1）]，然后分治建边，分成两个区间[L=0,R=1111…(一共29个)]，[L=1000…（一共29个0）,R=11111…（一共30个1）]，一直这样下去，得到的区间都满足下面形式：
[xxxx0000，xxxx1111],xxxx部分是相同的，也就是前k位相同，后k位分别是0和1
这样的区间异或上一个数x后仍然还是一个连续完整区间（很神奇，可以自己测试以下）
我用L=80（101000），R=95（1011111），当x小于等于15(1111)时，[L,R]的区间还是本区间只是内部打乱顺序，当大于15时[L,R]区间会整体变小，但是区间长度依旧不变。我认为是一位这个区间的对称的，所以才会这样
这样就可以将原区间[L[i],R[i]]拆成n组区间，a属于这个n组区间，那n组区间求个交(可以利用差分)，就得到a的数量

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <map>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int ,int> pii;
#define endl '\\n'
ll gcd(ll a, ll b){
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
void input(){
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while (c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
const int N = 1e6+10, M = N * 2, inf = 1e8;
int n, L[N], R[N], W[N];
vector<pii> G[N];
vector<pii> seg, v;
// l r 是当前点限制的左右取值范围
// vl vr 是当前这段区间所代表的取值范围
// dep 表示深度，v是在w1取0的条件下当前点的取值
void build(int l, int r, int vl, int vr, int dep, int v){
    if(l <= vl && vr <= r){
        int nowl = (vl ^ v) & (((1<<30)-1) ^ ((1<<dep) - 1));
        int nowr = nowl + (1<<dep) - 1;
        //cout<<"vl="<<vl<<" "<<"vr="<<vr<<endl;
        //cout<<"nowl="<<nowl<<" "<<"nowr="<<nowr<<endl; 
        seg.push_back({nowl, nowr});
    }else{
        int mid = (vl + vr) >> 1;
        if(l <= mid) build(l, r, vl, mid, dep-1, v);
        if(r > mid) build(l, r, mid+1, vr, dep-1, v);
    }
}
// 使用dfs求解每个点的值
void dfs(int x, int fa, int val){
    if(x != 1) build(L[x], R[x], 0, (1<<30)-1, 30, val);
    for(auto i : G[x]){
        if(i.first == fa) continue;
        dfs(i.first, x, i.second^val);
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>L[i]>>R[i];
    for(int i = 1; i < n; i++){
        int u, v, w; cin>>u>>v>>w;
        G[u].push_back({v, w});
        G[v].push_back({u, w});
    }
    dfs(1, -1, 0);
    seg.push_back({L[1], R[1]});
    for(auto i : seg) 
    	v.push_back({i.first, 1}), v.push_back({i.second + 1, -1});//差分思想 
    sort(v.begin(), v.end());
    int res = 0, sum = 0;
    for(int i = 0; i < (int)v.size(); i++){
        sum += v[i].second;
        if(sum == n) //当存在n个区间同时满足时，就是a的取值范围 
			res += v[i+1].first - v[i].first;
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}