算法复杂度理论 ( 时间复杂度 )

Posted 2021-08-27 韩曙亮

文章目录

• 一、复杂度理论
• 二、时间复杂度
• • 1、P 与 NP 问题
  • 2、O 表示的复杂度情况
  • 3、时间复杂度取值规则
  • 4、时间复杂度对比

一、复杂度理论

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时间复杂度 : 描述一个算法执行的大概效率 ; 面试重点考察 ; 面试时对时间复杂度都有指定的要求 , 蛮力算法一般都会挂掉 ;

空间复杂度 : 程序执行过程中 , 所耗费的额外空间 ; 面试考察较少 , 程序中使用的空间 , 看变量的定义就可以知道大概数量 ;

编程复杂度 : 代码可读性是否高 , 是否容易看懂 ; 写代码时的难度不高 , 别人读代码时的难度也不高 ; 如果写的时候经过长时间斟酌 , 那么可读性估计会很差 ;
如 : 字符串查找 ,
使用 蛮力算法 , 编程复杂度很低 , 很容易看懂 , 但是其时间复杂度是 $O(m\times n)$ ;
如果使用 Rabin-Karp 算法 , 时间复杂度是 $O(m+n)$ , 但是编程复杂度很高 , 实现了哈希算法 , 很难看懂 ;

思维复杂度 : 是否容易想得出 ; 算法的原理是否容易理解 ;
算法是否容易理解 ;
字符串查找 KMP 的算法就很难理解 , 即使把代码展示出来 , 将原理说明 , 也是很难理解的 ;

一般 蛮力算法 时间复杂度 很高 , 但是 编程复杂度 和 思维复杂度 很低 , 代码容易理解 ;
如果对 时间复杂度 要求很高 , 如必须达到 $O(n)$ 或 $O(n^2)$ 要求 , 则必须使用复杂的算法 , 双指针 , 动态规划 , KMP 等 , 代码会写几百行 , 很难理解 ;
二者之间需要综合考虑 , 相互作出一些妥协 ;

二、时间复杂度

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1、P 与 NP 问题

P 问题 ( Polynomial ) , 是有效算法的集合 , 都可以在多项式时间内完成计算 , 其 时间复杂度都是多项式 ,

时间复杂度都是 $O(n)$ , $O(n^2)$ , $O(n^3)$ , $O(m+n)$ , $O(1)$ , $O(\sqrt{n})$ , $O(\log n)$ , $O(n\log n)$ 等多项式 ;

$n$ 一般都在底数的位置 , 不在幂次方的位置 ;

NP 问题 ( Nondeterministic Polynomial ) , 是没有找到一个算法可以在多项式时间内解决该问题 , 目前只找到了非多项式时间的解法 , 不确定该问题是否有多项式时间解法 ;

时间复杂度一般是 $O(2^n)$ , $O(n^n)$ , $O(n!)$ 等 ;

2、O 表示的复杂度情况

$O$ 表示算法在 最坏的情况下的时间复杂度 ;

一般情况下 , 算法的时间复杂度都以最坏情况的时间复杂度为准 ;

但是也有特例 , 快速排序的最坏情况下 , 时间复杂度是 $O(n^2)$ , 这个时间复杂度几乎不会遇到 , 一般情况下描述快速排序的时间复杂度时 , 使用 平均时间复杂度 $O(n\log n)$ ;

3、时间复杂度取值规则

只考虑最高次项 : 时间复杂度描述中 , 一般 只考虑最高次项 ;
如 : $O(n^2+n)=O(n^2)$ , $O(2^n+n^2)=O(2^n)$

不考虑常数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑常数项 ;
如 : $O(n^2+2000)=O(n^2)$

不考虑系数项 : 时间复杂度描述中 , 不考虑系数项 ;
如 : $O(2n^2)=O(n^2)$ ,

$O(\log n)=O(\log (n^2))=O({\log }_4(n))$ , $O(\log (n^2))$ 其中的 $2$ 可以提取到前面 变为 $O(2\log (n))$ , $O({\log }_4(n))$ 中的底数 $4$ 提取出来变为 $O(\frac{1}{2}\log (n))$ , 系数项不考虑 , 不管底数是多少 , 内部 $n$ 是多少次幂 , 都可以提取成系数 , 系数项不考虑 ;
因此 , 对数的复杂度只有 $O(\log n)$ , 没有其它的底数或 $n$ 次幂的情况 , 这些都可以提取成系数 ;
但是系数为 $n$ 除外 ;

4、时间复杂度对比

$O(m+n)$ 与 $O(max(m,n))$ 哪个复杂度更高 ;

$n+m>max(m,n)>\frac{m+n}{2}$

$max(m,n)$ 是介于两个值之间的数值 ;

$O(n+m)=O(\frac{m+n}{2})$ , 因此 $O(n+m)=O(\frac{m+n}{2})=O(max(m,n))$