笔记｜C++最大公约数最小公倍数的四种求法

Posted 2021-08-27 海轰Pro

前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过国奖、省奖等，已保研。目前正在学习C++/Linux（真的真的太难了～）
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

概念

最大公约数：也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个
最小公倍数：两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

求法

注：以求两个正整数的最大公因数为例

方法一【枚举法】

思路：

• 找到a、b中的较小值
• 从该值开始，判断该数能否同时被a、b整除
• 若可以被整除 返回该值
• 若不可以 则递减1

#include <iostream>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	int temp = a > b ? b : a;
	while (temp)
	{
		if (a % temp == 0 && b % temp == 0)
		{
			break;
		}
		--temp;
	}
	return temp;
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

方法二【辗转相除法】

辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的：

• 若 r 是 a ÷ b 的余数，且r不为0， 则gcd(a,b) = gcd(b,r)

注：gcd表示最大公因数，gcd(a,b)表示a、b两数的最大公因数
​

程序设计思路是：

1. 令r为a/b所得余数（0<=r）
2. 若 r= 0，算法结束；b 即为答案。
3. 互换：置 a←b，b←r，并返回第一步。

#include <iostream>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	int r;
	// 当a不能被b整除完全时
	// 令a=b b=a%b
	// 重复循坏 直到a%b==0
	// 返回b b就是最大公因数
	while (a % b != 0)
	{
		r = a % b;
		a = b;
		b = r;
	}
	return b;
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

同样的思路，使用递归实现：
​

核心：

• 若 r 是 a ÷ b 的余数，且r不为0， 则gcd(a,b) = gcd(b,r)

#include <iostream>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	if (a % b == 0)
	{
		return b;
	}
	else
	{
		return gcd(b, a % b);
	}
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

方法三【更相减损法】

程序设计步骤：

• 第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
• 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
• 则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	// 判断两数是否都是偶数
	// 若都是 则都除以2
	// 直到其中一个数为奇数
	int count = 0;// 记录2的个数
	while (a % 2 == 0 && b % 2 == 0)
	{
		a /= 2;
		b /= 2;
		++count;
	}
	// 当a!=b时
	// 用a、b中的较大数减去较小数字
	// 一直循环 直到a==b
	while (a != b)
	{
		if (a > b)
		{
			a -= b;
		}
		else
		{
			b -= a;
		}
	}
	// 注意需要乘以count个2
	return a * pow(2, count);
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

递归：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	// 在这里递归时 没有对a b进行同时约2的操作
	if (a == b)
	{
		return a;
	}
	else if (a > b)
	{
		a -= b;
	}
	else
	{
		b -= a;
	}
	return gcd(a, b);
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

方法四【Stein算法】

用Cn表示最大公因数
​

算法步骤：
​

1、设置An=|A|、Bn=|B|、Cn=1和n=1
2、如果An=Bn,那么An(或Bn)Cn是最大公约数,算法结束
3、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束
4、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束
5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2（或An+1=|An-Bn|也行），Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
9、n=n+1，转2

非递归：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	int count = 0;
	if (a == b)
		return a;
	if (a == 0)
		return b;
	if (b == 0)
		return a;
	while (a != b)
	{
		// a&1==1 说明a是奇数 与a%2==1得到的效果一样
		// 都是判断a是奇数还是偶数
		if (a & 1)
		{
			if (b & 1)
			{
				//a,b都是奇数时
				// 提前存储a 因为后面a变了
				int temp = a;
				a = abs(a - b) >> 1;
				b = min(temp, b);
			}
			else
			{
				//a是奇数 b是偶数
				b >>= 1;
			}
		}
		else
		{
			if (b & 1)
			{
				//a是偶数 b是奇数
				a >>= 1;
			}
			else
			{
				//a、b都是偶数
				a >>= 1;
				b >>= 1;
				++count;
			}
		}
	}
	return a << count;
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

递归实现：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
// 求最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
	// 如果A=0 B是最大公因数 返回B
	if (a == 0)
		return b;
	
    // 如果B=0 A是最大公因数 返回A
	if (b == 0)
		return a;
	
    // 如果A、B都是偶数
	// 则分别除以因子2
	// 直到不满足二者同时为偶数
	if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0)
		return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
	
    // 若a是偶数 b不是偶数
	// 说明因子2不在公共因子中 可以直接除去2
	else if (a % 2 == 0)
		return gcd(a >> 1, b);
	
    // 若b是偶数 a不是偶数
	// 说明因子2不在公共因子中 可以直接除去2
	else if (b % 2 == 0)
		return gcd(a, b >> 1);
	
    // 若 a、b都是奇数时
	// An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)
	else
        // abs(a-b)/2也对
        // return gcd(abs(a - b)/2, min(a, b));
		return gcd(abs(a - b), min(a, b));
}
int main()
{
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << "gcd(a,b)=" << gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

最小公倍数求法就比较简单了，求出最大公因数后，之间用a*b/gcd(a,b)即可

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～